Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
y^prime=xy ; x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'=xy
e a relação algébrica
x^2+y^2=4
Vamos (1) classificar cada uma quanto à ordem e linearidade e (2) verificar se a segunda define solução para a primeira.

Passo 2

Classificação de
y'=xy
– A ordem é o maior índice de derivada que aparece: aqui só há y', então é de primeira ordem.
– É linear se puder ser posta na forma a1(x),y'+a0(x),y=g(x). Como temos y' - tfracxy=0, aparece divisão por y, ou seja, termo não linear em y. Logo é não linear.

Passo 3

Classificação de
x^2+y^2=4
– Não há nenhuma derivada, é uma equação de ordem zero.
– Como aparece y^2, não é linear em y. Portanto é não linear.

Passo 4

Verificação de solução: se x^2+y^2=4 fosse solução de y'=tfracxy, ao derivar implicitamente teríamos
2x+2y,y'=0 Longrightarrow y'=-xy
Isso dá y'=-x/y, que não coincide com y'=+x/y. Logo a curva x^2+y^2=4 não satisfaz a EDO dada.

Resposta

y'=xy é de ordem 1 e não linear.
x^2+y^2=4 é de ordem 0 e não linear.
A relação x^2+y^2=4 não define solução de y'=tfracxy, pois leva a y'=-tfracxyneq tfracxy.

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