Determine uma função y=f(x) definida em um intervalo l, cujo gráfico passe pelo ponto \left(0, \frac{5}{4}\right) e tal que, para todo t>0, t \in I, o comprimento do gráfico de y=f(x), 0 \leqslant y \leqslant t seja igual à área do conjunto \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leqslant x \leqslant t e 0 \leqslant y \leqslant f(x)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma função y=f(x) definida em um intervalo l tal que:
  • O gráfico de y=f(x) passe pelo ponto \left(0,\tfrac{5}{4}\right).
  • Para todo t>0 pertencente ao intervalo de definição, o comprimento do pedaço do gráfico correspondente a 0\le x\le t (ou seja, o comprimento do gráfico entre x=0 e x=t) seja igual à área do conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\\\ 0\le x\le t,\\\ 0\le y\le f(x)\}.
Informações dadas:
  • Ponto obrigatório: f(0)=\tfrac{5}{4}.
  • Condição de igualdade para todo t>0:
    • Comprimento do gráfico entre x=0 e x=t: expressão típica da geometria.
    • Área sob o gráfico entre x=0 e x=t: integral definida \int_0^t f(x)\,dx.
(Observação: a expressão “comprimento do gráfico de y=f(x),\\\ 0\le y\le t” no enunciado parece usar t como limite em x no segundo membro; a interpretação usual e consistente é comparar o comprimento do gráfico para 0\le x\le t com a área \int_0^t f(x)\,dx. Vou seguir essa interpretação.)

Passo 2

Escrevendo as duas quantidades em forma de integrais (fórmula padrão do comprimento de arco e área):
  • Comprimento do gráfico entre x=0 e x=t:
L(t)=\int_0^t \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Aqui a fórmula vem da definição de comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x): um pequeno trecho de comprimento é \sqrt{1+(f')^2}\,dx; somando (integrando) de 0 a t dá o comprimento total.
  • Área da região abaixo do gráfico entre x=0 e x=t:
A(t)=\int_0^t f(x)\,dx.
A condição do problema diz que, para todo t>0,
L(t)=A(t).

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (derivada de uma integral com limite variável) para obter uma condição diferencial local. Como L e A são definidas por integrais com o mesmo limite superior t, se L(t)=A(t) para todo t então suas derivadas também coincidem para todo t. Assim:
\frac{d}{dt}L(t)=\frac{d}{dt}A(t).
Calculando as derivadas usando o Teorema Fundamental:
\sqrt{1+\bigl(f'(t)\bigr)^2}=f(t).
Explicação: \dfrac{d}{dt}\int_0^t \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx = \sqrt{1+(f'(t))^2} e \dfrac{d}{dt}\int_0^t f(x)\,dx = f(t).

Passo 4

A equação obtida agora é uma equação diferencial algébrica relacionando f e f':
\sqrt{1+\bigl(f'(t)\bigr)^2}=f(t).
Elevando ao quadrado (justifique: f(t) deve ser não negativo para que a raiz quadrada e a igualdidade façam sentido; como veremos, a solução obtida tem f\ge1, portanto é consistente):
1+\bigl(f'(t)\bigr)^2=\bigl(f(t)\bigr)^2.
Rearranjando:
\bigl(f'(t)\bigr)^2=\bigl(f(t)\bigr)^2-1.
Tomando a raiz (escolhendo o sinal consistente com a solução que passa por f(0)=\tfrac{5}{4}>1; veremos que a derivada em 0 é positiva, então escolhemos o sinal positivo):
f'(t)=\sqrt{f(t)^2-1}.
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.

Passo 5

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevendo x em vez de t para a variável independente e f como função de x:
\frac{df}{dx}=\sqrt{f^2-1}.
Separando:
\frac{df}{\sqrt{f^2-1}}=dx.
Agora integramos ambos os lados. A primitiva do lado esquerdo é a função \operatorname{arcosh}(f) (a função arco-cosseno hiperbólico), ou explicitamente \ln\!\bigl(f+\sqrt{f^2-1}\bigr). Integramos:
\operatorname{arcosh}\bigl(f(x)\bigr)=x+C,
onde C é constante de integração. Em forma logarítmica:
\ln\!\Bigl(f(x)+\sqrt{f(x)^2-1}\Bigr)=x+C.

Passo 6

Isolando f(x) usando a definição inversa de \operatorname{arcosh}. Aplicando exponencial em ambos os lados da expressão logarítmica:
f(x)+\sqrt{f(x)^2-1}=e^{x+C}=e^{C}e^{x}.
Denotando A=e^{C}>0, tem-se
f(x)+\sqrt{f(x)^2-1}=A e^{x}.
Dessa igualdade pode-se reconhecer a forma hiperbólica inversa e concluir que, de maneira mais simples e elegante,
f(x)=\operatorname{cosh}(x+C).
(Efetivamente \operatorname{arcosh}(u)=v implica u=\operatorname{cosh}(v), então com \operatorname{arcosh}(f)=x+C obtemos f=\operatorname{cosh}(x+C).)

Passo 7

Determinar a constante C usando a condição inicial f(0)=\tfrac{5}{4}. Substituindo x=0:
f(0)=\operatorname{cosh}\text{(C)}=\tfrac{5}{4}.
Logo
\operatorname{cosh}\text{(C)}=\tfrac{5}{4}.
Usando a fórmula \operatorname{arcosh}(u)=\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^2-1}\bigr), obtemos
C=\operatorname{arcosh}\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr) =\ln\!\Bigl(\tfrac{5}{4}+\sqrt{\tfrac{25}{16}-1}\Bigr).
Calcule a raiz:
\sqrt{\tfrac{25}{16}-1}=\sqrt{\tfrac{9}{16}}=\tfrac{3}{4}.
Portanto
C=\ln\!\Bigl(\tfrac{5}{4}+\tfrac{3}{4}\Bigr)=\ln(2).

Passo 8

Substituindo C=\ln 2 na solução \operatorname{cosh}(x+C):
f(x)=\operatorname{cosh}\bigl(x+\ln 2\bigr).
Podemos simplificar essa expressão escrevendo \operatorname{cosh} em termos exponenciais:
f(x)=\frac{e^{x+\ln 2}+e^{-(x+\ln 2)}}{2} =\frac{2e^{x}+\tfrac{1}{2}e^{-x}}{2} =e^{x}+\tfrac{1}{4}e^{-x}.
Portanto uma forma prática e simples é
f(x)=e^{x}+\tfrac{1}{4}e^{-x}.

Passo 9

Verificação rápida e domínio:
  • Verificar a igualdade diferencial: f'(x)=e^{x}-\tfrac{1}{4}e^{-x}=\operatorname{sinh}(x+\ln 2),e então \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^2(x+\ln 2)}=\operatorname{cosh}(x+\ln 2)=f(x),o que garante \dfrac{d}{dx}L(x)=\dfrac{d}{dx}A(x) e, como L(0)=A(0)=0, garante L(t)=A(t) para todo t\ge0.
  • A função \operatorname{cosh} (e, portanto, f) é definida para todo x\in\mathbb{R} e satisfaz f(x)\ge1, logo não há problemas com a raiz quadrada. Assim o intervalo de definição l pode ser todo \mathbb{R}.

Resposta

f(x)=e^{x}+\tfrac{1}{4}e^{-x},\qquad x\in\mathbb{R}

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