Determine uma função
definida em um intervalo
, cujo gráfico passe pelo ponto
e tal que, para todo
, o comprimento do gráfico de
seja igual à área do conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma função
definida em um intervalo
tal que:
- O gráfico de
passe pelo ponto . - Para todo
pertencente ao intervalo de definição, o comprimento do pedaço do gráfico correspondente a (ou seja, o comprimento do gráfico entre e ) seja igual à área do conjunto .
Informações dadas:
- Ponto obrigatório:
. - Condição de igualdade para todo
: - Comprimento do gráfico entre
e : expressão típica da geometria. - Área sob o gráfico entre
e : integral definida .
- Comprimento do gráfico entre
(Observação: a expressão “comprimento do gráfico de
” no enunciado parece usar
como limite em
no segundo membro; a interpretação usual e consistente é comparar o comprimento do gráfico para
com a área
. Vou seguir essa interpretação.)
Passo 2
Escrevendo as duas quantidades em forma de integrais (fórmula padrão do comprimento de arco e área):
- Comprimento do gráfico entre
e :
Aqui a fórmula vem da definição de comprimento de arco para uma curva dada por
: um pequeno trecho de comprimento é
; somando (integrando) de
a
dá o comprimento total.
- Área da região abaixo do gráfico entre
e :
A condição do problema diz que, para todo
,
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (derivada de uma integral com limite variável) para obter uma condição diferencial local. Como
e
são definidas por integrais com o mesmo limite superior
, se
para todo
então suas derivadas também coincidem para todo
. Assim:
Calculando as derivadas usando o Teorema Fundamental:
Explicação:
e
.
Passo 4
A equação obtida agora é uma equação diferencial algébrica relacionando
e
:
Elevando ao quadrado (justifique:
deve ser não negativo para que a raiz quadrada e a igualdidade façam sentido; como veremos, a solução obtida tem
, portanto é consistente):
Rearranjando:
Tomando a raiz (escolhendo o sinal consistente com a solução que passa por
; veremos que a derivada em
é positiva, então escolhemos o sinal positivo):
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.
Passo 5
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevendo
em vez de
para a variável independente e
como função de
:
Separando:
Agora integramos ambos os lados. A primitiva do lado esquerdo é a função
(a função arco-cosseno hiperbólico), ou explicitamente
. Integramos:
onde
é constante de integração. Em forma logarítmica:
Passo 6
Isolando
usando a definição inversa de
. Aplicando exponencial em ambos os lados da expressão logarítmica:
Denotando
, tem-se
Dessa igualdade pode-se reconhecer a forma hiperbólica inversa e concluir que, de maneira mais simples e elegante,
(Efetivamente
implica
, então com
obtemos
.)
Passo 7
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
Usando a fórmula
, obtemos
Calcule a raiz:
Portanto
Passo 8
Substituindo
na solução
:
Podemos simplificar essa expressão escrevendo
em termos exponenciais:
Portanto uma forma prática e simples é
Passo 9
Verificação rápida e domínio:
- Verificar a igualdade diferencial:
e então o que garante e, como , garante para todo . - A função
(e, portanto, ) é definida para todo e satisfaz , logo não há problemas com a raiz quadrada. Assim o intervalo de definição pode ser todo .