Em cada item, utilize o fator integrante adequado para transformar a equação em uma exata e, em seguida, a resolva.
\left(3 y^{2}-x^{2}+1\right) d x+2 x y d y=0, considerando x>0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, com:
  • M(x,y)=3y^{2}-x^{2}+1,
  • N(x,y)=2xy,
    e pede que se utilize o fator integrante adequado para transformar a equação em exata e, em seguida, resolvê-la. Foi dada também a condição x>0.
O que é pedido, em termos práticos:
  • Encontrar um fator integrante (dependendo só de x ou só de y) que torne a 1-forma exata;
  • Resolver a equação exata obtida, isto é, achar a função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=0 seja equivalente à equação original multiplicada pelo fator integrante;
  • Dar a solução geral (implícita) \Phi(x,y)=C.

Passo 2

Verificar se a equação já é exata. A condição de exatidão é \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}-x^{2}+1\bigr)=6y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr)=2y.
Como 6y\neq 2y (em geral), a equação não é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante que dependa apenas de x ou apenas de y. Uma forma prática: testar se a função
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}
depende apenas de x (nesse caso existe um fator integrante \mu(x)), ou se
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}
depende apenas de y (nesse caso existe \mu(y)).
Calculemos a primeira razão (a candidata a depender só de x):
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{6y-2y}{2xy}=\frac{4y}{2xy}=\frac{2}{x}.
O resultado é \dfrac{2}{x}, que de fato depende apenas de x. Portanto existe um fator integrante que é função somente de x. (A condição x>0 vai garantir que possamos integrar \dfrac{2}{x} sem problema com logaritmo absoluto.)

Passo 4

Determinar o fator integrante \mu(x). Para o caso \mu=\mu(x) vale a fórmula
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}\,dx\right).
Substituindo a função encontrada:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln x\right)=x^{2},
usando x>0 para remover o valor absoluto em \ln x. Assim o fator integrante é \mu(x)=x^{2}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{2}. Obtemos a nova 1-forma \widetilde{M}\,dx+\widetilde{N}\,dy=0 com
\widetilde{M}(x,y)=x^{2}(3y^{2}-x^{2}+1)=3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2},
\widetilde{N}(x,y)=x^{2}\cdot 2xy=2x^{3}y.
Verifiquemos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=6x^{2}y, \qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=6x^{2}y.
Como são iguais, a equação multiplicada por x^{2} é exata.

Passo 6

Agora buscamos a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}=3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}=2x^{3}y.
Integramos \widetilde{M} em relação a x (tratando y como constante) para obter \Phi:
\Phi(x,y)=\int\bigl(3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}\bigr)\,dx.
Calculemos termo a termo:
\int 3x^{2}y^{2}\,dx = y^{2}\int 3x^{2}\,dx = y^{2}x^{3},
\int -x^{4}\,dx = -\frac{x^{5}}{5},
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto
\Phi(x,y)=x^{3}y^{2}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 7

Determinar h(y) usando a condição \partial \Phi/\partial y=\widetilde{N}. Diferenciando \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2x^{3}y+h'(y).
Igualando a \widetilde{N}=2x^{3}y, obtemos h'(y)=0. Assim h(y) é constante, digamos h(y)=C.
Logo a função potencial é, até constante,
\Phi(x,y)=x^{3}y^{2}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}.

Passo 8

A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é \Phi(x,y)=\text{constante}. Portanto a família de integrais é dada por
x^{3}y^{2}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}=C,
onde C é constante arbitrária real. Podemos, se quisermos, fatorar x^{3}:
x^{3}\!\left(y^{2}+\frac{1}{3}\right)-\frac{x^{5}}{5}=C,
ou ainda colocar em forma com denominadores comuns, mas a forma anterior já é adequada como solução implícita.

Resposta

x^{3}y^{2}-\dfrac{x^{5}}{5}+\dfrac{x^{3}}{3}=C

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