Em cada item, utilize o fator integrante adequado para transformar a equação em uma exata e, em seguida, a resolva.
, considerando
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma
, com:
-
, -
,
e pede que se utilize o fator integrante adequado para transformar a equação em exata e, em seguida, resolvê-la. Foi dada também a condição.
O que é pedido, em termos práticos:
- Encontrar um fator integrante (dependendo só de
ou só de ) que torne a 1-forma exata; - Resolver a equação exata obtida, isto é, achar a função potencial
tal que seja equivalente à equação original multiplicada pelo fator integrante; - Dar a solução geral (implícita)
.
Passo 2
Verificar se a equação já é exata. A condição de exatidão é
.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
(em geral), a equação não é exata.
Passo 3
Procurar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Uma forma prática: testar se a função
depende apenas de
(nesse caso existe um fator integrante
), ou se
depende apenas de
(nesse caso existe
).
Calculemos a primeira razão (a candidata a depender só de
):
O resultado é
, que de fato depende apenas de
. Portanto existe um fator integrante que é função somente de
. (A condição
vai garantir que possamos integrar
sem problema com logaritmo absoluto.)
Passo 4
Determinar o fator integrante
. Para o caso
vale a fórmula
Substituindo a função encontrada:
usando
para remover o valor absoluto em
. Assim o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Obtemos a nova 1-forma
com
Verifiquemos a exatidão:
Como são iguais, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 6
Agora buscamos a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
(tratando
como constante) para obter
:
Calculemos termo a termo:
Portanto
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 7
Determinar
usando a condição
. Diferenciando
em relação a
:
Igualando a
, obtemos
. Assim
é constante, digamos
.
Logo a função potencial é, até constante,
Passo 8
A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é
. Portanto a família de integrais é dada por
onde
é constante arbitrária real. Podemos, se quisermos, fatorar
:
ou ainda colocar em forma com denominadores comuns, mas a forma anterior já é adequada como solução implícita.