Em cada item, utilize o fator integrante adequado para transformar a equação em uma exata e, em seguida, a resolva.
(3 x y-4 y) d x+\left(2 x^{2}-4 x\right) d y=0, dados x>0 e y>0.

Passo 1

O enunciado pede: transformar a equação diferencial
(3 x y-4 y)\,dx+\left(2 x^{2}-4 x\right)\,dy=0
numa equação exata usando um fator integrante apropriado e, em seguida, resolver a equação.
Dados fornecidos e úteis:
  • A equação pode ser escrita na forma \,M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, com M(x,y)=3xy-4y,\qquad N(x,y)=2x^{2}-4x.
  • A condição de domínio: x>0 e y>0.
  • Objetivo: encontrar um fator integrante (dependente apenas de x ou apenas de y) que torne a equação exata e obter a solução geral implícita.

Passo 2

Primeiro testamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x-4, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=4x-4.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=3x-4 \ne 4x-4=\frac{\partial N}{\partial x}
a equação NÃO é exata inicialmente.

Passo 3

Vou procurar um fator integrante que dependa só de x, isto é \mu=\mu(x). A condição prática para existir tal \mu(x) é que
\frac{\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
seja função apenas de x. Calculamos esse quociente:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{(3x-4)-(4x-4)}{2x^{2}-4x} =\frac{-x}{2x^{2}-4x}.
Simplificando:
\frac{-x}{2x^{2}-4x}=\frac{-x}{2x(x-2)}=\frac{-1}{2(x-2)}.
Esse resultado depende somente de x. Logo existe um fator integrante que é função só de x.

Passo 4

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{-1}{2(x-2)}.
Integrando ambos os lados:
\ln|\mu(x)|=\int\frac{-1}{2(x-2)}\,dx=-\tfrac{1}{2}\ln|x-2|+C.
Tomando exponencial (e absorvendo a constante multiplicativa numa constante arbitrária que não interessa):
\mu(x)=|x-2|^{-1/2}.
Para trabalhar com raízes reais escolhemos o ramo adequado no intervalo onde se resolve a equação. Em particular, em intervalos onde x>2 podemos usar
\mu(x)=(x-2)^{-1/2}.
(Nas aplicações locais com 0<x<2 teria que usar \mu(x)=|x-2|^{-1/2}=(2-x)^{-1/2} e checar sinais; aqui segue a resolução para a região x>2, onde tudo é real e contínuo.)

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=(x-2)^{-1/2}. Os novos coeficientes são
\tilde M(x,y)=\mu M=(x-2)^{-1/2}(3xy-4y)=y(3x-4)(x-2)^{-1/2},
\tilde N(x,y)=\mu N=(x-2)^{-1/2}(2x^{2}-4x)=2x(x-2)^{1/2}.
Agora verificamos a exatidão (opcionalmente, para confirmar):
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=3x-4\overbrace{\,}(x-2)^{-1/2}= (3x-4)(x-2)^{-1/2},
\frac{\partial \tilde N}{\partial x} =2(x-2)^{1/2}+2x\cdot\frac{1}{2}(x-2)^{-1/2}\cdot 1 =2(x-2)^{1/2}+x(x-2)^{-1/2}.
Parece diferente em primeira vista, então é melhor derivar \tilde M corretamente: como \tilde M=y(3x-4)(x-2)^{-1/2}, derivando em relação a y obtemos
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=(3x-4)(x-2)^{-1/2}.
Agora derivamos \tilde N com mais cuidado:
\tilde N=2x(x-2)^{1/2}.
Derivando:
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=2(x-2)^{1/2}+2x\cdot\frac{1}{2}(x-2)^{-1/2}=2(x-2)^{1/2}+x(x-2)^{-1/2}.
Para verem que essas duas expressões coincidem quando multiplicadas por (x-2)^{-1/2} ou manipuladas, examinemos a igualdade direta substituindo (3x-4)(x-2)^{-1/2} no lado esquerdo e escrevendo o lado direito com fator comum (x-2)^{-1/2}:
2(x-2)^{1/2}+x(x-2)^{-1/2}=\bigl(2(x-2)+x\bigr)(x-2)^{-1/2}=(3x-4)(x-2)^{-1/2}.
De fato 2(x-2)+x=2x-4+x=3x-4. Portanto
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial \tilde N}{\partial x},
a equação multiplicada por \mu(x) é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M(x,y)=y(3x-4)(x-2)^{-1/2}.
Integramos essa expressão em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=y\int (3x-4)(x-2)^{-1/2}\,dx + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y. Faço a integral com a substituição u=x-2, então x=u+2 e 3x-4=3(u+2)-4=3u+2. A integral fica
\int(3x-4)(x-2)^{-1/2}\,dx=\int(3u+2)u^{-1/2}\,du =\int\bigl(3u^{1/2}+2u^{-1/2}\bigr)\,du.
Integramos termo a termo:
\int 3u^{1/2}\,du=3\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=2u^{3/2}, \qquad \int 2u^{-1/2}\,du=2\cdot 2u^{1/2}=4u^{1/2}.
Somando,
\int(3x-4)(x-2)^{-1/2}\,dx=2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}+C.
Assim
\Phi(x,y)=y\bigl(2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}\bigr)+h(y).

Passo 7

Agora impomos \partial\Phi/\partial y=\tilde N(x,y). Calculamos
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}+h'(y).
Mas \tilde N(x,y)=2x(x-2)^{1/2}. Igualando:
2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}+h'(y)=2x(x-2)^{1/2}.
Passando os dois primeiros termos para o outro lado e fatorando (x-2)^{1/2}:
h'(y)=2x(x-2)^{1/2}-\bigl(2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}\bigr)
\;=\bigl(2x-2(x-2)-4\bigr)(x-2)^{1/2} =\bigl(2x-2x+4-4\bigr)(x-2)^{1/2}=0.
Portanto h'(y)=0 e h(y) é constante, digamos C.

Passo 8

A função potencial final é (absorvendo constantes em C)
\Phi(x,y)=y\bigl(2(x-2)^{3/2}+4(x-2)^{1/2}\bigr)=C.
Fatorando 2y(x-2)^{1/2}:
\Phi(x,y)=2y(x-2)^{1/2}\bigl((x-2)+2\bigr)=2y(x-2)^{1/2}x.
Assim a solução implícita simplificada é
2x y\sqrt{x-2}=C.
Lembrete: essa forma foi obtida usando \mu(x)=(x-2)^{-1/2}, portanto é válida nas regiões onde esta função é bem definida e real (por exemplo x>2). Para intervalos com 0<x<2 usar \mu(x)=|x-2|^{-1/2}=(2-x)^{-1/2} e adaptar o sinal da raiz conforme necessário.

Resposta

2x y\sqrt{x-2}=C

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