Em cada item, utilize o fator integrante adequado para transformar a equação em uma exata e, em seguida, a resolva. (3 x y-4 y) d x+\left(2 x^{2}-4 x\right) d y=0, dados x>0 e y>0.
Passo 1
O enunciado pede: transformar a equação diferencial
(3 x y-4 y)\,dx+\left(2 x^{2}-4 x\right)\,dy=0
numa equação exata usando um fator integrante apropriado e, em seguida, resolver a equação.
Dados fornecidos e úteis:
A equação pode ser escrita na forma \,M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, comM(x,y)=3xy-4y,\qquad N(x,y)=2x^{2}-4x.
A condição de domínio: x>0 e y>0.
Objetivo: encontrar um fator integrante (dependente apenas de x ou apenas de y) que torne a equação exata e obter a solução geral implícita.
Passo 2
Primeiro testamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
Tomando exponencial (e absorvendo a constante multiplicativa numa constante arbitrária que não interessa):
\mu(x)=|x-2|^{-1/2}.
Para trabalhar com raízes reais escolhemos o ramo adequado no intervalo onde se resolve a equação. Em particular, em intervalos onde x>2 podemos usar
\mu(x)=(x-2)^{-1/2}.
(Nas aplicações locais com 0<x<2 teria que usar \mu(x)=|x-2|^{-1/2}=(2-x)^{-1/2} e checar sinais; aqui segue a resolução para a região x>2, onde tudo é real e contínuo.)
Passo 5
Multiplicamos a equação original por \mu(x)=(x-2)^{-1/2}. Os novos coeficientes são
Para verem que essas duas expressões coincidem quando multiplicadas por (x-2)^{-1/2} ou manipuladas, examinemos a igualdade direta substituindo (3x-4)(x-2)^{-1/2} no lado esquerdo e escrevendo o lado direito com fator comum (x-2)^{-1/2}:
Lembrete: essa forma foi obtida usando \mu(x)=(x-2)^{-1/2}, portanto é válida nas regiões onde esta função é bem definida e real (por exemplo x>2). Para intervalos com 0<x<2 usar \mu(x)=|x-2|^{-1/2}=(2-x)^{-1/2} e adaptar o sinal da raiz conforme necessário.