Determine se as funções abaixo são contínuas em
((0,0)). Determine se a função em (c) é contínua em
(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)) :
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
A função é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)?
As informações relevantes: a fórmula da função para (x,y)\neq(0,0) e o valor atribuído em (0,0). Não há outras condições escondidas.]
Passo 2
Lembrete didático sobre continuidade em pontos para funções de duas variáveis: dizer que f é contínua em um ponto a\in\mathbb{R}^2 significa que
\lim_{(x,y)\to a} f(x,y)
existe e é igual a f(a). Para verificar isso, precisamos (i) mostrar que o limite existe (independente do caminho pelo qual (x,y) se aproxima de a) e (ii) comparar com o valor dado f(a).
Uma técnica muito útil para estudar limites em (0,0) é usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^+ (o \theta pode variar). Em polares frequentemente aparece um fator r^k que força o limite a zero se k>0.
Também é útil o argumento do “teorema do aperto” (squeeze): se |g(x,y)|\le h(r) com h(r)\to 0 quando r\to0, então g(x,y)\to0.
Passo 3
Vamos estudar o limite em (0,0). Para (x,y)\neq(0,0) mudamos para coordenadas polares:
Assim |f(x,y)|\le r e quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0. Pelo teorema do aperto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 5
Comparando com o valor dado da função em (0,0), que é f(0,0)=0, concluímos que o limite existe e é igual ao valor da função. Portanto f é contínua em (0,0).
Observação pedagógica: este argumento é independente do caminho (porque em polares mostramos que a expressão é r vezes uma quantidade limitada), então não há perigo de caminhos diferentes darem limites diferentes.
Passo 6
Agora verificamos a continuidade em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Primeiro note que para esse ponto
Para pontos onde x^{2}+y^{2}\neq 0 a expressão \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} é uma razão de polinômios (soma e produto de x,y), portanto é uma função composta de operações contínuas — logo é contínua em qualquer ponto com denominador não nulo. Consequentemente f é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).