Determine se as funções abaixo são contínuas em
((0,0)). Determine se a função em (c) é contínua em
(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)) :
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas que devemos responder são:
  1. A função é contínua em (0,0)?
  2. A função é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)?
As informações relevantes: a fórmula da função para (x,y)\neq(0,0) e o valor atribuído em (0,0). Não há outras condições escondidas.]

Passo 2

Lembrete didático sobre continuidade em pontos para funções de duas variáveis: dizer que f é contínua em um ponto a\in\mathbb{R}^2 significa que
\lim_{(x,y)\to a} f(x,y)
existe e é igual a f(a). Para verificar isso, precisamos (i) mostrar que o limite existe (independente do caminho pelo qual (x,y) se aproxima de a) e (ii) comparar com o valor dado f(a).
Uma técnica muito útil para estudar limites em (0,0) é usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^+ (o \theta pode variar). Em polares frequentemente aparece um fator r^k que força o limite a zero se k>0.
Também é útil o argumento do “teorema do aperto” (squeeze): se |g(x,y)|\le h(r) com h(r)\to 0 quando r\to0, então g(x,y)\to0.

Passo 3

Vamos estudar o limite em (0,0). Para (x,y)\neq(0,0) mudamos para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Substituindo na expressão de f obtemos
\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}}{r^{2}} = \frac{r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}} = r\cos\theta\sin^{2}\theta.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0) com r>0,
f(x,y)=r\cos\theta\sin^{2}\theta.

Passo 4

Agora estimamos o módulo para aplicar o teorema do aperto. Usando que |\cos\theta|\le 1 e |\sin\theta|\le 1, temos
\big|f(x,y)\big| = |r\cos\theta\sin^{2}\theta| \le r\cdot |\cos\theta|\cdot \sin^{2}\theta \le r\cdot 1\cdot 1 = r.
Assim |f(x,y)|\le r e quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0. Pelo teorema do aperto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 5

Comparando com o valor dado da função em (0,0), que é f(0,0)=0, concluímos que o limite existe e é igual ao valor da função. Portanto f é contínua em (0,0).
Observação pedagógica: este argumento é independente do caminho (porque em polares mostramos que a expressão é r vezes uma quantidade limitada), então não há perigo de caminhos diferentes darem limites diferentes.

Passo 6

Agora verificamos a continuidade em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Primeiro note que para esse ponto
x^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\neq 0.
Para pontos onde x^{2}+y^{2}\neq 0 a expressão \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} é uma razão de polinômios (soma e produto de x,y), portanto é uma função composta de operações contínuas — logo é contínua em qualquer ponto com denominador não nulo. Consequentemente f é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Como checagem, podemos calcular o valor:
f\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{1} = \frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}.

Resposta

Sim, f é contínua em (0,0).
Sim, f é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

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