Determine os limites abaixo: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}.
Informações dadas: a função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x+y}, e queremos o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0). Nota importante: a expressão só faz sentido quando x+y\neq0 (pois o denominador não pode ser zero).
Passo 2
Observe a fatoração do numerador: a identidade algébrica
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)
é válida para quaisquer x,y. Essa fatoração é uma ferramenta muito útil para simplificar frações com diferença de quadrados.
Passo 3
Usando a fatoração, quando x+y\neq0 podemos simplificar:
Ou seja, em todo ponto do domínio (onde x+y\neq0) a função coincide com x-y. Isso já dá uma forte indicação: perto de (0,0) o valor da expressão é igual a x-y, e x-y\to0 quando (x,y)\to(0,0).
Passo 4
Para ser rigoroso, vou provar o limite por uma desigualdade (estilo epsilon‑delta). Primeiro note que, para quaisquer x,y,
|x-y|\le |x|+|y|.
E pela desigualdade entre normas em \mathbb{R}^{2},
|x|+|y|\le \sqrt{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Portanto, para todos os pontos do domínio (isto é, com x+y\neq0),
Isto mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que sempre que (x,y) do domínio estiver suficientemente perto de (0,0) a função fica a menos de \varepsilon de 0. Portanto o limite existe e vale 0.
Passo 6
Breve comentário sobre a linha x+y=0: nessa reta a função não está definida (denominador zero). Isso não impede o limite existir, porque o limite só exige que os valores da função em pontos do domínio que se aproximam de (0,0) tendam a um único número. E como mostramos, todos esses valores (quando x+y\neq0) ficam arbitrariamente próximos de 0.