Determine os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve
e , portanto estamos trabalhando no domínio onde essas raízes são reais, isto é, para e . - O ponto de interesse é
. - O numerador é
e o denominador é ; a expressão está indefinida quando (ou seja, quando ), mas o limite considera pontos próximos a , não necessariamente sobre a reta .
Passo 2
Vamos usar uma identidade algébrica simples que ajuda muito aqui: a diferença de quadrados.
Seja e
. A identidade é
Seja
Substituindo
e
obtemos
Isso vale sempre para
e
.
Passo 3
Usando a fatoração do passo anterior, quando
(ou seja, quando o denominador é diferente de zero) podemos simplificar a razão:
Portanto, para todos os pontos do domínio com
,
e
, a expressão dada é igual a
.
Passo 4
O valor da expressão quando
não está definido (denominador zero), mas isso não impede calcular o limite: basta estudar o comportamento de
quando
, porque a expressão original coincide com
em todos os pontos próximos (exceto a própria reta
), e o limite não é afetado por excluir uma reta (conjunto de medida zero) ao tomar
.
Passo 5
Agora usamos propriedades básicas de limites e da função raiz quadrada:
- A função
é contínua em (para ), logo se então ; idem para . - Soma de limites: se
e quando , então .
Formalizando: para qualquer sequência
com
e
, temos
e
, então
. Assim o limite da função simplificada é
.
Passo 6
Conclusão: como a expressão original coincide com
para pontos próximos a
(exceto sobre a reta
), e
quando
, segue que
Resposta
0