Determine os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve \sqrt{x} e \sqrt{y}, portanto estamos trabalhando no domínio onde essas raízes são reais, isto é, para x\ge 0 e y\ge 0.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • O numerador é x-y e o denominador é \sqrt{x}-\sqrt{y}; a expressão está indefinida quando \sqrt{x}-\sqrt{y}=0 (ou seja, quando x=y), mas o limite considera pontos próximos a (0,0), não necessariamente sobre a reta x=y.

Passo 2

Vamos usar uma identidade algébrica simples que ajuda muito aqui: a diferença de quadrados.
Seja a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y}. A identidade é
a^2-b^2=(a-b)(a+b).
Substituindo a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y} obtemos
x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Isso vale sempre para x\ge 0 e y\ge 0.

Passo 3

Usando a fatoração do passo anterior, quando \sqrt{x}\neq\sqrt{y} (ou seja, quando o denominador é diferente de zero) podemos simplificar a razão:
\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.
Portanto, para todos os pontos do domínio com x\ge0, y\ge0 e x\neq y, a expressão dada é igual a \sqrt{x}+\sqrt{y}.

Passo 4

O valor da expressão quando x=y não está definido (denominador zero), mas isso não impede calcular o limite: basta estudar o comportamento de \sqrt{x}+\sqrt{y} quando (x,y)\to(0,0), porque a expressão original coincide com \sqrt{x}+\sqrt{y} em todos os pontos próximos (exceto a própria reta x=y), e o limite não é afetado por excluir uma reta (conjunto de medida zero) ao tomar (x,y)\to(0,0).

Passo 5

Agora usamos propriedades básicas de limites e da função raiz quadrada:
  • A função \sqrt{t} é contínua em t=0 (para t\ge0), logo se x\to0 então \sqrt{x}\to0; idem para y.
  • Soma de limites: se \sqrt{x}\to0 e \sqrt{y}\to0 quando (x,y)\to(0,0), então \sqrt{x}+\sqrt{y}\to0+0=0.
Formalizando: para qualquer sequência (x_n,y_n) com x_n\ge0,y_n\ge0 e (x_n,y_n)\to(0,0), temos \sqrt{x_n}\to0 e \sqrt{y_n}\to0, então \sqrt{x_n}+\sqrt{y_n}\to0. Assim o limite da função simplificada é 0.

Passo 6

Conclusão: como a expressão original coincide com \sqrt{x}+\sqrt{y} para pontos próximos a (0,0) (exceto sobre a reta x=y), e \sqrt{x}+\sqrt{y}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = 0.

Resposta

0

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