Determine as funções elementares f e g de modo que g o f = F, quando F é uma função real dada por uma das leis abaixo: F(x) = 2^(cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas funções elementares, chamadas e , de maneira que quando a gente aplica uma depois da outra ( ), o resultado seja a função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre composição de funções e como identificar partes diferentes da função que podemos separar em e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Ela é uma função composta porque envolve duas operações principais: a função cosseno ( ) e uma potência com base 2 elevado ao resultado do cosseno. Isso significa que podemos pensar em como uma parte da função e a exponenciação como outra parte.

Passo 3

Vamos definir a primeira função, , como sendo a parte interna da função composta, ou seja, aquela que está dentro do cosseno. Então, podemos escolher:
Assim, pega o valor de e retorna o cosseno desse valor.

Passo 4

Agora, precisamos definir a segunda função, , que vai receber o resultado de e aplicar a exponenciação. Como na função a base da potência é 2, podemos definir:
Aqui, pega o valor que vem de e eleva 2 a esse valor.

Passo 5

Vamos verificar se a composição realmente dá a função . Fazendo a substituição:
Perfeito! A composição das funções e resulta exatamente na função que a gente queria.

Resposta

As funções e que satisfazem são:

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