Determine se a função
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se ela é contínua em
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
é um polinômio de grau 2. - O ponto de interesse é
. - A pergunta é: “a função é contínua em
?”
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (explicação didática e simples).
Uma função
é contínua em
se, ao nos aproximarmos de
para
, o valor de
se aproxima exatamente do valor
. Em símbolos, isso significa:
Aqui é preciso entender duas coisas:
- O limite
existe (ou seja, a aproximação pelo lado esquerdo e pelo lado direito dão o mesmo número). - Esse limite é igual ao valor da função no ponto,
.
Vou usar essa definição passo a passo para o caso
.
Passo 3
Por que podemos usar substituição direta em polinômios (mini-aula)?
Regras de limite que vou usar (sem jargões):
- Se
existe e vale , então para qualquer constante vale . - O limite de soma é a soma dos limites:
, quando os limites existem. - Para a função identidade
vale . - Combinando essas regras,
, , e .
Essas propriedades fazem com que polinômios permitam a “substituição direta”:
para qualquer polinômio
. Por isso é um método seguro e rápido para este exercício.
Passo 4
Calcular
detalhadamente:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto
.
Passo 5
Calcular o limite
usando as regras de limite:
Aplicando as propriedades já citadas:
Então
Passo 6
Comparação dos resultados (sem jargão): encontramos
Ou seja, o limite quando
tende a
coincide com o valor da função em
.
Resposta
Sim,
é contínua em
.