Determine se a função
f(x)=x^{2}-4 x+1
é contínua em x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}-4x+1
e pede para determinar se ela é contínua em x=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f é um polinômio de grau 2.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • A pergunta é: “a função é contínua em x=2?”

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (explicação didática e simples).
Uma função f é contínua em x=a se, ao nos aproximarmos de x para a, o valor de f(x) se aproxima exatamente do valor f(a). Em símbolos, isso significa:
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Aqui é preciso entender duas coisas:
  • O limite \lim_{x\to a} f(x) existe (ou seja, a aproximação pelo lado esquerdo e pelo lado direito dão o mesmo número).
  • Esse limite é igual ao valor da função no ponto, f(a).
Vou usar essa definição passo a passo para o caso a=2.

Passo 3

Por que podemos usar substituição direta em polinômios (mini-aula)?
Regras de limite que vou usar (sem jargões):
  • Se \lim_{x\to a} g(x) existe e vale L, então para qualquer constante c vale \lim_{x\to a} c\cdot g(x)=c\cdot L.
  • O limite de soma é a soma dos limites: \lim (g+h)=\lim g + \lim h, quando os limites existem.
  • Para a função identidade g(x)=x vale \lim_{x\to a} x=a.
  • Combinando essas regras, \lim_{x\to a} x^{2}=a^{2}, \lim_{x\to a} (4x)=4a, e \lim_{x\to a} 1=1.
Essas propriedades fazem com que polinômios permitam a “substituição direta”: \lim_{x\to a} P(x)=P(a) para qualquer polinômio P. Por isso é um método seguro e rápido para este exercício.

Passo 4

Calcular f(2) detalhadamente:
f(2)=2^{2}-4\cdot 2 + 1.
Calcule cada termo:
2^{2}=4,\qquad -4\cdot 2 = -8.
Somando:
f(2)=4-8+1 = -4+1 = -3.
Portanto f(2)=-3.

Passo 5

Calcular o limite \lim_{x\to2} f(x) usando as regras de limite:
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2}\bigl(x^{2}-4x+1\bigr) =\lim_{x\to2} x^{2} \;-\;4\lim_{x\to2} x \;+\; \lim_{x\to2} 1.
Aplicando as propriedades já citadas:
\lim_{x\to2} x^{2}=2^{2}=4, \qquad \lim_{x\to2} x = 2, \qquad \lim_{x\to2} 1 = 1.
Então
\lim_{x\to2} f(x)=4 - 4\cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3.

Passo 6

Comparação dos resultados (sem jargão): encontramos
\lim_{x\to2} f(x) = -3 \qquad\text{e}\qquad f(2) = -3.
Ou seja, o limite quando x tende a 2 coincide com o valor da função em 2.

Resposta

Sim, f é contínua em x=2.

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