Determine as funções inversas, e quando existirem, calcule as suas derivadas e desenhe os seus gráficos:
f_{1}(x)=x^{3}, x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a função f_{1} definida por
f_{1}(x)=x^{3},\qquad x\in\mathbb{R}.
O que nos pedem:
  • Determinar a(s) função(ões) inversa(s) de f_{1} (quando existirem).
  • Quando existir a inversa, calcular a derivada dessa inversa.
  • Desenhar (descrever) os gráficos de f_{1} e da sua inversa.
Informações relevantes dadas:
  • A lei explícita f_{1}(x)=x^{3}.
  • O domínio explícito é \mathbb{R}.
    Nada mais foi fornecido, então vamos trabalhar com domínio e contradomínio naturais (valores reais).

Passo 2

Verificar se f_{1} é invertível (isto é, bijetora). Para isso precisamos mostrar que f_{1} é injetora e sobrejetora em \mathbb{R}.
  • Injetividade (duas maneiras simples):
    1. Álgebra: se x_{1}<x_{2} então
    x_{2}^{3}-x_{1}^{3}=(x_{2}-x_{1})(x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}).
    O fator x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2} é sempre positivo (soma de quadrados/termos), e x_{2}-x_{1}>0, logo x_{2}^{3}-x_{1}^{3}>0. Portanto x_{1}<x_{2}\Rightarrow x_{1}^{3}<x_{2}^{3}: a função é estritamente crescente e, assim, injetora.
    2. (Alternativa) Derivada: f_{1}'(x)=3x^{2}\ge0 para todo x, e a diferença só zera em ponto isolado; a função é monótona crescente no real, o que também implica injetividade.
  • Sobrejetividade: para qualquer y\in\mathbb{R} existe x=\sqrt[3]{y}\in\mathbb{R} tal que x^{3}=y. Logo a imagem é todo \mathbb{R}.
Conclusão: f_{1} é bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R} e, portanto, possui inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Determinar explicitamente a inversa. Começamos por escrever y=f_{1}(x)=x^{3} e resolver para x:
y=x^{3}\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{y}=y^{1/3}.
Trocando os nomes das variáveis para a notação usual da inversa (usar x como argumento da inversa), obtemos:
f_{1}^{-1}(x)=x^{1/3},\qquad x\in\mathbb{R}.
Observação de notação: tanto x^{1/3} quanto \sqrt[3]{x} representam a mesma função real para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Calcular a derivada da função original f_{1} (útil para aplicar a fórmula da derivada da inversa e para interpretar a tangente em 0):
f_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad x\in\mathbb{R}.
Repare que f_{1}'(0)=0 e f_{1}'(x)>0 para x\neq 0.

Passo 5

Expor a regra geral para derivada da inversa (aula rápida e necessária):
Se f é diferenciável em a e f'(a)\neq 0, e f é invertível, então f^{-1} é diferenciável no ponto b=f(a) e vale a fórmula
\bigl(f^{-1}\bigr)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
Demonstração curta (ideia): diferencie a identidade f(f^{-1}(y))=y em y=b. Pela regra da cadeia,
f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)\cdot\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=1.
Isolando \bigl(f^{-1}\bigr)'(y) dá a fórmula acima.
Importante: a fórmula exige f'(a)\neq 0. Se f'(a)=0, a inversa pode falhar em ser diferenciável no ponto correspondente (ou a derivada pode ser infinita).

Passo 6

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Usando f_{1}'(x)=3x^{2} e escribindo o resultado em termos do argumento da inversa (chamado x novamente):
Tomando y genérico e usando que f_{1}^{-1}(y)=y^{1/3}, a fórmula dá
\bigl(f_{1}^{-1}\bigr)'(y)=\frac{1}{f_{1}'\bigl(f_{1}^{-1}(y)\bigr)} =\frac{1}{3\bigl(f_{1}^{-1}(y)\bigr)^{2}} =\frac{1}{3\bigl(y^{1/3}\bigr)^{2}} =\frac{1}{3\,y^{2/3}}.
Se preferir escrever a derivada da inversa como função de x (argumento da inversa):
\bigl(f_{1}^{-1}\bigr)'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}=\frac{1}{3\,x^{2/3}},\qquad x\neq 0.
Observação crucial: esta expressão explode quando x\to 0, e não está definida em x=0. Portanto \bigl(f_{1}^{-1}\bigr)' existe (finita) para todo x\neq 0, mas não existe (é infinito) em x=0.

Passo 7

Verificar a diferenciabilidade em 0 por duas vias (intuição):
  • Pela fórmula: como f_{1}'(0)=0, a hipótese f'(a)\neq 0 falha para a=0. Logo a garantia da fórmula não existe em 0; de fato a derivada da inversa em 0 não é finita.
  • Derivada direta da função x^{1/3} pelo poder: \dfrac{d}{dx}x^{1/3}=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}, que não está definida em x=0. Geometricamente isso corresponde a uma tangente vertical em x=0 para a curva y=x^{1/3}, enquanto f_{1}(x)=x^{3} tem tangente horizontal em x=0 (porque f_{1}'(0)=0). Isso é exatamente a reflexão da identidade de que a inversa reflete tangentes horizontais em verticais.

Passo 8

Descrição dos gráficos (instrução de desenho e interpretação para a prova):
  • Gráfico de f_{1}(x)=x^{3}:
    • Função ímpar (simétrica em relação à origem).
    • Estritamente crescente, passa por (0,0).
    • Para x\to+\infty tem f_{1}(x)\to+\infty e para x\to-\infty tem f_{1}(x)\to-\infty.
    • Tem inflexão em 0 e tangente horizontal em (0,0) (porque f_{1}'(0)=0).
    • Pontos simples: f_{1}(1)=1,\\ f_{1}(-1)=-1.
  • Gráfico da inversa f_{1}^{-1}(x)=x^{1/3}:
    • É a reflexão do gráfico de f_{1} em relação à reta y=x.
    • Também ímpar e estritamente crescente, passa por (0,0).
    • Tem tangente vertical em (0,0) (derivada não finita ali).
    • Para valores x próximos de 0 o gráfico sobe/desce lentamente na direção vertical; para grandes |x| aproxima-se de inclinação pequena (comportamento suave).
    • Pontos correspondentes: f_{1}^{-1}(1)=1,\\ f_{1}^{-1}(-1)=-1.
Dica prática para desenhar na prova: trace primeiro a reta y=x; desenhe a cúbica com o formato clássico de “S assimétrico” (inflexão na origem), e a inversa será o reflexo.

Passo 9

Resumo das propriedades relevantes para a prova (decore mentalmente):
  • f_{1} é bijetora em \mathbb{R}.
  • f_{1}^{-1}(x)=x^{1/3} para todo x\in\mathbb{R}.
  • f_{1}'(x)=3x^{2} existe para todo x\in\mathbb{R}.
  • \bigl(f_{1}^{-1}\bigr)'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3} existe para x\neq 0; em x=0 a derivada da inversa não é finita (tangente vertical).

Resposta

f_{1}^{-1}(x)=x^{1/3},\quad x\in\mathbb{R}.
f_{1}'(x)=3x^{2},\quad x\in\mathbb{R}.
\bigl(f_{1}^{-1}\bigr)'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}=\dfrac{1}{3\,x^{2/3}},\quad x\neq 0.
\bigl(f_{1}^{-1}\bigr)' não é finita em x=0 (tangente vertical).

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