Determine as funções inversas, e quando existirem, calcule as suas derivadas e desenhe os seus gráficos:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que nos pedem:
- Determinar a(s) função(ões) inversa(s) de
(quando existirem). - Quando existir a inversa, calcular a derivada dessa inversa.
- Desenhar (descrever) os gráficos de
e da sua inversa.
Informações relevantes dadas:
- A lei explícita
. - O domínio explícito é
.
Nada mais foi fornecido, então vamos trabalhar com domínio e contradomínio naturais (valores reais).
Passo 2
Verificar se
é invertível (isto é, bijetora). Para isso precisamos mostrar que
é injetora e sobrejetora em
.
-
Injetividade (duas maneiras simples):
- Álgebra: se
então
O fatoré sempre positivo (soma de quadrados/termos), e , logo . Portanto : a função é estritamente crescente e, assim, injetora.
2. (Alternativa) Derivada:para todo , e a diferença só zera em ponto isolado; a função é monótona crescente no real, o que também implica injetividade. - Álgebra: se
-
Sobrejetividade: para qualquer
existe tal que . Logo a imagem é todo .
Conclusão:
é bijetora
e, portanto, possui inversa definida em todo
.
Passo 3
Determinar explicitamente a inversa. Começamos por escrever
e resolver para
:
Trocando os nomes das variáveis para a notação usual da inversa (usar
como argumento da inversa), obtemos:
Observação de notação: tanto
quanto
representam a mesma função real para todo
.
Passo 4
Calcular a derivada da função original
(útil para aplicar a fórmula da derivada da inversa e para interpretar a tangente em
):
Repare que
e
para
.
Passo 5
Expor a regra geral para derivada da inversa (aula rápida e necessária):
Se é diferenciável em
e
, e
é invertível, então
é diferenciável no ponto
e vale a fórmula
Se
Demonstração curta (ideia): diferencie a identidade
em
. Pela regra da cadeia,
Isolando
dá a fórmula acima.
Importante: a fórmula exige
. Se
, a inversa pode falhar em ser diferenciável no ponto correspondente (ou a derivada pode ser infinita).
Passo 6
Aplicar a fórmula ao nosso caso. Usando
e escribindo o resultado em termos do argumento da inversa (chamado
novamente):
Tomando
genérico e usando que
, a fórmula dá
Se preferir escrever a derivada da inversa como função de
(argumento da inversa):
Observação crucial: esta expressão explode quando
, e não está definida em
. Portanto
existe (finita) para todo
, mas não existe (é infinito) em
.
Passo 7
Verificar a diferenciabilidade em
por duas vias (intuição):
- Pela fórmula: como
, a hipótese falha para . Logo a garantia da fórmula não existe em ; de fato a derivada da inversa em não é finita. - Derivada direta da função
pelo poder: , que não está definida em . Geometricamente isso corresponde a uma tangente vertical em para a curva , enquanto tem tangente horizontal em (porque ). Isso é exatamente a reflexão da identidade de que a inversa reflete tangentes horizontais em verticais.
Passo 8
Descrição dos gráficos (instrução de desenho e interpretação para a prova):
-
Gráfico de
: - Função ímpar (simétrica em relação à origem).
- Estritamente crescente, passa por
. - Para
tem e para tem . - Tem inflexão em
e tangente horizontal em (porque ). - Pontos simples:
.
-
Gráfico da inversa
: - É a reflexão do gráfico de
em relação à reta . - Também ímpar e estritamente crescente, passa por
. - Tem tangente vertical em
(derivada não finita ali). - Para valores
próximos de o gráfico sobe/desce lentamente na direção vertical; para grandes aproxima-se de inclinação pequena (comportamento suave). - Pontos correspondentes:
.
- É a reflexão do gráfico de
Dica prática para desenhar na prova: trace primeiro a reta
; desenhe a cúbica com o formato clássico de “S assimétrico” (inflexão na origem), e a inversa será o reflexo.
Passo 9
Resumo das propriedades relevantes para a prova (decore mentalmente):
-
é bijetora em . -
para todo . -
existe para todo . -
existe para ; em a derivada da inversa não é finita (tangente vertical).