Determine se as funções a seguir são bijetoras de
para
. Justifique sua resposta baseandose nas propriedades que devem cumprir as funções para serem bijetoras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a função $ f(x) = -2x + 3 $ é bijetora de $ \mathbb{R} $ para $ \mathbb{R} $. Isso significa que a função precisa ser injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (toda saída possível é atingida por alguma entrada). Então, vamos precisar verificar essas duas propriedades para ver se a função é realmente bijetora.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que $ f(x_1) = f(x_2) $, então $ x_1 = x_2 $. Isso garante que não há dois valores diferentes de $ x $ que dão o mesmo valor de $ f(x) $.
Vamos supor que $ f(x_1) = f(x_2) $:
Agora, subtraímos 3 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -2:
Como assumimos que $ f(x_1) = f(x_2) $ levou a $ x_1 = x_2 $, isso confirma que a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para qualquer valor $ y $ em $ \mathbb{R} $, existe pelo menos um valor $ x $ em $ \mathbb{R} $ tal que $ f(x) = y $. Isso significa que a função “cobriu” todo o conjunto de saída possível.
Vamos resolver para $ x $:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -2:
Como conseguimos expressar $ x $ em termos de qualquer $ y $ real, isso mostra que para cada $ y $ em $ \mathbb{R} $, existe um $ x $ correspondente em $ \mathbb{R} $ tal que $ f(x) = y $. Portanto, a função é sobrejetora.
Resposta
Como a função $ f(x) = -2x + 3 $ é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora de $ \mathbb{R} $ para $ \mathbb{R} $.