No triângulo A B C, os pontos D e E pertencem aos lados A B e A C, respectivamente. Mostre que
(A D E)(A B C)=A DA E cdot A BA C

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo ABC, com D em AB e E em AC, e pede para mostrar que a razão das áreas satisfaz (ADE)(ABC)=ADABcdotAEAC. Vamos usar a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles, já que tanto ADE quanto ABC compartilham o ângulo em A.

Passo 2

A fórmula geral da área de um triângulo em função de dois lados b,c e do ângulo theta entre eles é
Área = 12,b,c,sin(theta) Á

Passo 3

Para o triângulo ABC, as arestas que formam o ângulo em A são AB e AC, então
(ABC) = 12,ABcdot ACcdotsin(ang<= A)

Passo 4

Para o triângulo ADE, as arestas que formam o mesmo ângulo em A são AD e AE, logo
(ADE) = 12,ADcdot AEcdotsin(ang<= A)

Passo 5

Dividindo as duas expressões, os fatores tfrac12 e sin(ang<= A) se cancelam, ficando
(ADE)(ABC) = ADcdot AEABcdot AC = ADABcdotAEAC

Resposta

(ADE)(ABC) = ADABcdotAEAC

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