Encontre a equação do plano tangente à superfície z=x^2+y^2 no ponto P=(1,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície $ z = x^{2} + y^{2} $ no ponto $ P = (1, 0, 1) $. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e planos tangentes em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como achar a equação do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ num ponto $ (x_0, y_0, z_0) $. A fórmula geral é:
z = f(x, y)
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar $ f(x, y) $ na nossa equação. No caso, $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $.

Passo 4

Calcular $ f_x $, a derivada de $ f $ em relação a $ x $:
fx
Agora, calcular $ f_y $, a derivada de $ f $ em relação a $ y $:
f

Passo 5

Agora que temos $ f_x $ e $ f_y $, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P = (1, 0, 1) $. Ou seja, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 0 $:
fx
fy

Passo 6

Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula que vimos no Passo 2:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 1 = 2(x - 1) + 0(y - 0)

Passo 7

Simplificando a equação:
z - 1 = 2(x - 1)
Distribuindo o 2:
z - 1 = 2x - 2
Agora, somando 1 em ambos os lados para isolar $ z $:
z

Resposta

A equação do plano tangente à superfície $ z = x^{2} + y^{2} $ no ponto $ P = (1, 0, 1) $ é:
z = x^2 + y^2

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