Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície $ z = x^{2} + y^{2} $ no ponto $ P = (1, 0, 1) $. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e planos tangentes em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como achar a equação do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ num ponto $ (x_0, y_0, z_0) $. A fórmula geral é:
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar $ f(x, y) $ na nossa equação. No caso, $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $.
Passo 4
Calcular $ f_x $, a derivada de $ f $ em relação a $ x $:
Agora, calcular $ f_y $, a derivada de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora que temos $ f_x $ e $ f_y $, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P = (1, 0, 1) $. Ou seja, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 0 $:
Passo 6
Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula que vimos no Passo 2:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a equação:
Distribuindo o 2:
Agora, somando 1 em ambos os lados para isolar $ z $:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície $ z = x^{2} + y^{2} $ no ponto $ P = (1, 0, 1) $ é: