Determine se a EDO abaixo é exata, e em seguida resolva ela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a EDO dada é exata e, se for, resolver ela. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas. Para resolver, vamos precisar verificar uma condição específica de exatidão e, se atender, encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma EDO exata. Uma equação diferencial da forma:
é considerada exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 4
Agora, vamos comparar $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Perceba que $ \frac{\partial N}{\partial x} $ tem um termo extra $ x \sin x , y $. Como essas derivadas não são iguais, a equação dada não é exata.
Resposta
A EDO fornecida não é exata porque as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ não são iguais.