Determine se a EDO abaixo é exata, e em seguida resolva ela.
(e^2 y-y cos x y) d x+(2 x e^2 y-x cos x y+2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a EDO dada é exata e, se for, resolver ela. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas. Para resolver, vamos precisar verificar uma condição específica de exatidão e, se atender, encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma EDO exata. Uma equação diferencial da forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é considerada exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja:
M
No nosso caso, temos:
y
N
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Mpartial y = partialpartial y(e^2 y - y cos x , y) = 2 e^2 y - (cos x cdot y + y cdot (-sin x) cdot 0) = 2 e^2 y - cos x , y

Passo 4

Agora, vamos comparar $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Mpartial y
partial Npartial x
Perceba que $ \frac{\partial N}{\partial x} $ tem um termo extra $ x \sin x , y $. Como essas derivadas não são iguais, a equação dada não é exata.

Resposta

A EDO fornecida não é exata porque as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ não são iguais.

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