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Determine as funções temporais correspondentes às seguintes Transformadas de Fourier:
a) F(j w)=2 sin [3(w-2 pi)](w-2 pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função temporal que corresponde à Transformada de Fourier dada por:
F(j omega) = 2 sin [3(omega - 2pi)]omega - 2pi
Vamos usar conceitos de Transformada de Fourier, especificamente como transformar expressões que envolvem funções seno e termos lineares em omega.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da Transformada de Fourier. Observamos que:
F(j omega) = 2 sin [3(omega - 2pi)]omega - 2pi
Podemos reescrever a parte do seno usando uma propriedade trigonométrica:
sin[a(b)] = sin[ab]
Então:
sin [3(omega - 2pi)] = sin(3omega - 6pi)
Mas como o seno é uma função periódica com período 2pi, sin(3omega - 6pi) = sin(3omega). Portanto, a Transformada fica:
F(j omega) = 2 sin(3omega)omega - 2pi

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a Transformada de Fourier da função retângulo $ rect(t/T) $ é proporcional a $ sinc(T\omega) $. Aqui, temos algo parecido com a função sinc:
rect(t/T)
Então, podemos identificar que:
sinc(Tomega)
Mas precisamos considerar o deslocamento na frequência, que é sinc(x) = sin(x)x . Isso indica que a função temporal será modulada por uma exponencial complexa.

Passo 4

Usando a propriedade de deslocamento de frequência na Transformada de Fourier, sabemos que:
F(j omega - omega0) rightarrow f(t) e^j omega0 t
No nosso caso, omega0 = 2pi, então a função temporal será:
f(t) = 2 cdot rect(t6) cdot e^j 2pi t
Aqui, $ rect\left(\frac{t}{6}\right) $ é uma função retângulo com largura de 6, porque rect(t6) .

Passo 5

Então, juntando tudo, a função temporal correspondente é uma função retângulo de largura 6 multiplicada por uma exponencial complexa que representa o deslocamento de frequência. Assim:
f(t) = 2 cdot rect(t6) cdot e^j 2pi t

Resposta

A função temporal correspondente é:
f(t) = 2 cdot rect(t6) cdot e^j 2pi t

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