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Determine as funções temporais correspondentes às seguintes Transformadas de Fourier:
a)
Determine as funções temporais correspondentes às seguintes Transformadas de Fourier:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função temporal que corresponde à Transformada de Fourier dada por:
Vamos usar conceitos de Transformada de Fourier, especificamente como transformar expressões que envolvem funções seno e termos lineares em
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da Transformada de Fourier. Observamos que:
Podemos reescrever a parte do seno usando uma propriedade trigonométrica:
Então:
Mas como o seno é uma função periódica com período
,
. Portanto, a Transformada fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a Transformada de Fourier da função retângulo $ rect(t/T) $ é proporcional a $ sinc(T\omega) $. Aqui, temos algo parecido com a função sinc:
Então, podemos identificar que:
Mas precisamos considerar o deslocamento na frequência, que é
. Isso indica que a função temporal será modulada por uma exponencial complexa.
Passo 4
Usando a propriedade de deslocamento de frequência na Transformada de Fourier, sabemos que:
No nosso caso,
, então a função temporal será:
Aqui, $ rect\left(\frac{t}{6}\right) $ é uma função retângulo com largura de 6, porque
.
Passo 5
Então, juntando tudo, a função temporal correspondente é uma função retângulo de largura 6 multiplicada por uma exponencial complexa que representa o deslocamento de frequência. Assim:
Resposta
A função temporal correspondente é: