Calcule a Transformada de Fourier das seguintes funções, utilizando a sua definição e suas propriedades:
c) f(t)=sin (2 t+pi / 4) 1(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a Transformada de Fourier da função $ f(t) = \sin(2 t + \pi /4) \cdot 1(t) $. A Transformada de Fourier é uma ferramenta que permite converter uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a análise de sinais. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades básicas dela.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição da Transformada de Fourier para uma função $ f(t) $:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = \sin(2 t + \pi /4) \cdot 1(t) $. A função $ 1(t) $ é a função degrau unitário, que vale 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $. Isso significa que a integral será de 0 a infinito:
F(omega) = integral-infty^infty f(t) e^-j omega t dt

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos utilizar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais complexas:
sin(a t + b) = e^j(a t + b) - e^-j(a t + b)2j
Aplicando isso à nossa função:
sin(2 t + pi /4) = e^j(2 t + pi /4) - e^-j(2 t + pi /4)2j

Passo 4

Substituindo essa expressão na definição da Transformada de Fourier:
F(omega) = integral0^infty e^j(2 t + pi /4) - e^-j(2 t + pi /4)2j e^-j omega t dt
Podemos distribuir a multiplicação do exponencial:
F(omega) = 12j integral0^infty ( e^j2 t + j pi /4 e^-j omega t - e^-j2 t -j pi /4 e^-j omega t ) dt

Passo 5

Simplificando os expoentes ao combinar os termos na exponencial:
F(omega) = 12j integral0^infty ( e^j(2 - omega) t + j pi /4 - e^-j(2 + omega) t - j pi /4 ) dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo. Lembrando que a integral de uma exponencial é:
integral0^infty e^j alpha t dt = 1j alpha (quando alpha neq 0)
Aplicando isso aos termos:
F(omega) = 12j [ e^j pi /4 cdot 1j(2 - omega) - e^-j pi /4 cdot 1j(-2 - omega) ]

Passo 7

Simplificando os termos acima, lembrando que $ j^2 = -1 $ (logo, $ 1/j = -j $):
j^2 = -1
1/j = -j

Resposta

A Transformada de Fourier da função $ f(t) = \sin(2 t + \pi /4) \cdot 1(t) $ é:
f(t) = sin(2 t + pi /4) cdot 1(t)

Exercícios relacionados