Calcule a Transformada de Fourier das seguintes funções, utilizando a sua definição e suas propriedades:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a Transformada de Fourier da função $ f(t) = \sin(2 t + \pi /4) \cdot 1(t) $. A Transformada de Fourier é uma ferramenta que permite converter uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a análise de sinais. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades básicas dela.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição da Transformada de Fourier para uma função $ f(t) $:
No nosso caso, $ f(t) = \sin(2 t + \pi /4) \cdot 1(t) $. A função $ 1(t) $ é a função degrau unitário, que vale 0 para $ t < 0 $ e 1 para $ t \geq 0 $. Isso significa que a integral será de 0 a infinito:
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos utilizar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais complexas:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 4
Substituindo essa expressão na definição da Transformada de Fourier:
Podemos distribuir a multiplicação do exponencial:
Passo 5
Simplificando os expoentes ao combinar os termos na exponencial:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo. Lembrando que a integral de uma exponencial é:
Aplicando isso aos termos:
Passo 7
Simplificando os termos acima, lembrando que $ j^2 = -1 $ (logo, $ 1/j = -j $):
Resposta
A Transformada de Fourier da função $ f(t) = \sin(2 t + \pi /4) \cdot 1(t) $ é: