(a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3}, z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 .
(b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação.
(c) Determine a solução geral da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem
(x+3)y''+(x+2)y'-y=0
e pede em (a) testar as funções \;z_{1}(x)=x^{2},\;z_{2}(x)=x^{3},\;z_{3}(x)=e^{-x},
em (b), a partir de uma solução y_{1}, achar uma segunda solução y_{2} de modo que \{y_{1},y_{2}\} seja base de soluções, e em (c) escrever a solução geral. Usaremos cálculo de derivadas, substituição na EDO e o método de redução de ordem.
Passo 2
Testamos cada z_{i} calculando y',y'' e substituindo na EDO: