(Valor: 2,0) Resolva o sistema não linear, ou seja, encontre o valor de x e y a partir dos valores iniciais de x=y=-1,5, com erro absoluto menor que 0,05 .
usando como valores iniciais x_0=y_0=-1{,}5 e alcançando um erro absoluto menor que 0{,}05.
Dados importantes extraídos do enunciado:
Equações do sistema: \;x^{2}-2x-y=1 e \;x-y=-3.
Valor inicial: \;x_0=-1{,}5,\;y_0=-1{,}5.
Critério de parada: erro absoluto menor que \;0{,}05 (interpreto como |\Delta x|<0{,}05 e |\Delta y|<0{,}05 nas iterações).
A partir daqui eu vou aplicar um método iterativo (método de Newton para sistemas) usando o valor inicial fornecido até que as correções fiquem abaixo de 0{,}05.]
Passo 2
Apresentação do método de Newton para sistemas (aula rapidinha): seja \mathbf{F}(x,y)=\begin{pmatrix}F_1(x,y)\\[4pt]F_2(x,y)\end{pmatrix}. A iteração de Newton é
Interpretação: em cada passo, linearizamos o sistema em torno do ponto atual (x_k,y_k) e resolvemos o sistema linear para obter a correção \Delta\mathbf{x}_k.]
Passo 3
Defino as funções do sistema (colocando as equações na forma F_i=0):
portanto F_2(x_1,y_1)=0 (a segunda equação já ficou satisfeita exatamente). Isso simplifica a próxima iteração porque o lado direito do segundo componente será zero.
Passo 6
Segunda iteração k=1 com (x_1,y_1)=\left(-\tfrac{25}{24},\tfrac{47}{24}\right).
Conclusão: a iteração de Newton com o valor inicial dado converge rapidamente para a solução próxima a ( -1,2). Alcançamos correções menores que 0{,}05 após duas iterações, portanto podemos tomar como aproximação do sistema:
x\approx-1{,}00034,\qquad y\approx1{,}99966.
(Como verificação rápida: a solução exata do sistema pode ser obtida por substituição y=x+3, levando à equação quadrática x^2-3x-4=0 com raízes x=4 e x=-1. A iteração partiu do ponto x_0=-1{,}5 e convergiu para a raiz x=-1, com y=x+3=2.)