Determine o ganho da antena dipolo hertziano sem perdas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ganho da antena dipolo hertziano sem perdas.
Informações dadas (implícitas no enunciado e que vou usar):
\bullet A antena é um dipolo hertziano (dipolo ideal muito curto), então seu comprimento \ell satisfaz \ell \ll \lambda.
\bullet A antena é sem perdas, ou seja, a eficiência \eta_{\text{rad}}=1.
\bullet Queremos o ganho elétrico (gain) G da antena — como não há perdas, G será igual à diretividade D.
Não há figura a ser usada. A resolução vai partir das expressões de campo no regime de onda distante (far‑field) para o dipolo hertziano.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
\bullet Diretividade D é definida por
D=\frac{4\pi\,U_{\max}}{P_{\text{rad}}},
onde U(\theta,\varphi) é a intensidade de radiação (potência por unidade de sólido) e U_{\max} é o seu máximo. P_{\text{rad}} é a potência total radiada. Se a antena é sem perdas, G=D.
\bullet A intensidade de radiação U(\theta,\varphi) relaciona‑se com a densidade de potência radial S_r no campo distante por
U(\theta,\varphi)=r^2 S_r,
porque a potência atravessando um elemento de área r^2 d\Omega é S_r r^2 d\Omega.
\bullet No campo distante de um dipolo hertziano com corrente de amplitude I_0 e comprimento \ell a componente tangencial do campo elétrico é (expressão padrão):
E_\theta(r,\theta)=j\,\eta\,k\,\frac{I_0\ell}{4\pi r}\,e^{-jkr}\sin\theta,
onde k=\dfrac{2\pi}{\lambda} é o número de onda e \eta é a impedância intrínseca do meio (no espaço livre \eta\approx 120\pi\\ \Omega). No regime harmônico, o módulo é
|E_\theta|=\eta\,k\,\frac{I_0\ell}{4\pi r}\sin\theta.
Vou usar essas expressões para obter U(\theta) e integrar para P_{\text{rad}}.

Passo 3

Calcular a densidade de potência média radial S_r no campo distante:
No campo distante, E_\theta e H_\varphi estão relacionados por H_\varphi=E_\theta/\eta em módulo. A densidade de potência média (valor médio do vetor de Poynting) é
S_r=\frac{1}{2}\Re\{E_\theta H_\varphi^*\}=\frac{1}{2}\frac{|E_\theta|^2}{\eta}.
Substituindo |E_\theta| obtemos
S_r=\frac{1}{2\eta}\left(\eta^2 k^2\frac{I_0^2\ell^2}{16\pi^2 r^2}\sin^2\theta\right) =\frac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{32\pi^2 r^2}\sin^2\theta.

Passo 4

Obter a intensidade de radiação U(\theta) (potência por unidade de sólido):
U(\theta)=r^2 S_r =\frac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{32\pi^2}\sin^2\theta.
Observe que U não depende de \varphi (simetria azimutal) e tem padrão \propto\sin^2\theta. O máximo ocorre em \theta=\pi/2, logo
U_{\max}=U\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\frac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{32\pi^2}.

Passo 5

Calcular a potência total radiada P_{\text{rad}} integrando U(\theta) sobre todo o sólido:
P_{\text{rad}}=\int_{4\pi} U(\theta)\,d\Omega =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} U(\theta)\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Como U independe de \varphi,
P_{\text{rad}}=2\pi\cdot\frac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{32\pi^2}\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta.
Vamos calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta. Use \sin^3\theta=\sin\theta(1-\cos^2\theta) e faça a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=\int_{u=1}^{u=-1}(1-u^2)(-du)=\int_{-1}^{1}(1-u^2)\,du =\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1}=(1-\tfrac{1}{3})-(-1+\tfrac{1}{3})=\tfrac{4}{3}.
Substituindo,
P_{\text{rad}}=2\pi\cdot\frac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{32\pi^2}\cdot\frac{4}{3} =\frac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{12\pi}.

Passo 6

Calcular a diretividade D e, como a antena é sem perdas, o ganho G:
Pela definição,
D=\frac{4\pi U_{\max}}{P_{\text{rad}}} =\frac{4\pi\cdot\left(\dfrac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{32\pi^2}\right)}{\dfrac{\eta k^2 I_0^2\ell^2}{12\pi}}.
Cancellamos o fator comum \eta k^2 I_0^2\ell^2 e fazemos as contas:
D=\frac{4\pi}{32\pi^2}\cdot\frac{12\pi}{1}=\frac{4}{32}\cdot 12=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}=1{,}5.
Como a antena é sem perdas, G=D. Em decibéis isotrópcos:
G_{\text{dBi}}=10\log_{10}(1{,}5)\approx 1{,}76\\ \mathrm{dBi}.

Resposta

G=1{,}5 (linear)
G\approx 1{,}76\\ \mathrm{dBi}

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