Determine o ganho da antena dipolo hertziano sem perdas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ganho da antena dipolo hertziano sem perdas.
Informações dadas (implícitas no enunciado e que vou usar):
A antena é um dipolo hertziano (dipolo ideal muito curto), então seu comprimento
satisfaz
.
A antena é sem perdas, ou seja, a eficiência
.
Queremos o ganho elétrico (gain)
da antena — como não há perdas,
será igual à diretividade
.
Não há figura a ser usada. A resolução vai partir das expressões de campo no regime de onda distante (far‑field) para o dipolo hertziano.
Informações dadas (implícitas no enunciado e que vou usar):
Não há figura a ser usada. A resolução vai partir das expressões de campo no regime de onda distante (far‑field) para o dipolo hertziano.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
Diretividade
é definida por
onde
é a intensidade de radiação (potência por unidade de sólido) e
é o seu máximo.
é a potência total radiada. Se a antena é sem perdas,
.
A intensidade de radiação
relaciona‑se com a densidade de potência radial
no campo distante por
porque a potência atravessando um elemento de área
é
.
No campo distante de um dipolo hertziano com corrente de amplitude
e comprimento
a componente tangencial do campo elétrico é (expressão padrão):
onde
é o número de onda e
é a impedância intrínseca do meio (no espaço livre
). No regime harmônico, o módulo é
Vou usar essas expressões para obter
e integrar para
.
Passo 3
Calcular a densidade de potência média radial
no campo distante:
No campo distante, e
estão relacionados por
em módulo. A densidade de potência média (valor médio do vetor de Poynting) é
No campo distante,
Substituindo
obtemos
Passo 4
Obter a intensidade de radiação
(potência por unidade de sólido):
Observe que
não depende de
(simetria azimutal) e tem padrão
. O máximo ocorre em
, logo
Passo 5
Calcular a potência total radiada
integrando
sobre todo o sólido:
Como
independe de
,
Vamos calcular a integral
. Use
e faça a substituição
,
:
Substituindo,
Passo 6
Calcular a diretividade
e, como a antena é sem perdas, o ganho
:
Pela definição,
Pela definição,
Cancellamos o fator comum
e fazemos as contas:
Como a antena é sem perdas,
. Em decibéis isotrópcos: