Determine geometricamente o vetor unitário tangente a C e calcule \mathbf{F} \cdot \mathbf{t}. Em seguida determine o trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de C.
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{j} e C é a fronteira do quadrado [0,1] \times[0,1] no plano x y orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o vetor unitário tangente \mathbf{t} à curva C e o produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{t}, e em seguida o trabalho
W=\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{j} ao longo do contorno C do quadrado [0,1]\times[0,1] no plano xy, orientado anti-horário.
O conteúdo envolve parametrizações de cada lado de C, cálculo do vetor tangente unitário e integração de linha.

Passo 2

Segmento 1: vai de (0,0,0) a (1,0,0).
Uma parametrização é
\mathbf{r}_1(t)=(t,0,0),\quad t\in[0,1].
Então
\mathbf{r}_1'(t)=(1,0,0),\quad\|\mathbf{r}_1'(t)\|=1,
logo o vetor tangente unitário é
\mathbf{t}_1=\frac{\mathbf{r}_1'}{\|\mathbf{r}_1'\|}=(1,0,0).
Em cada ponto x=t, y=0 temos
\mathbf{F}=(0,x,0)=(0,t,0),
portanto
\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}_1=(0,t,0)\cdot(1,0,0)=0.

Passo 3

Segmento 2: vai de (1,0,0) a (1,1,0).
Parametrização
\mathbf{r}_2(t)=(1,t,0),\quad t\in[0,1],
\mathbf{r}_2'(t)=(0,1,0),\quad\|\mathbf{r}_2'(t)\|=1,
\mathbf{t}_2=(0,1,0),
e aqui x=1, então
\mathbf{F}=(0,1,0),
logo
\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}_2=(0,1,0)\cdot(0,1,0)=1.

Passo 4

Segmento 3: vai de (1,1,0) a (0,1,0).
Parametrização
\mathbf{r}_3(t)=(1-t,1,0),\quad t\in[0,1],
\mathbf{r}_3'(t)=(-1,0,0),\quad\|\mathbf{r}_3'(t)\|=1,
\mathbf{t}_3=(-1,0,0),
e x=1-t, então
\mathbf{F}=(0,1-t,0),
o que dá
\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}_3=(0,1-t,0)\cdot(-1,0,0)=0.

Passo 5

Segmento 4: vai de (0,1,0) a (0,0,0).
Parametrização
\mathbf{r}_4(t)=(0,1-t,0),\quad t\in[0,1],
\mathbf{r}_4'(t)=(0,-1,0),\quad\|\mathbf{r}_4'(t)\|=1,
\mathbf{t}_4=(0,-1,0),
e x=0 implica \mathbf{F}=(0,0,0), logo
\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}_4=0.

Passo 6

Agora o trabalho é a soma das quatro integrais
W=\sum_{i=1}^4\int_{0}^{1}\bigl(\mathbf{F}\cdot\mathbf{t}_i\bigr)\,ds =\int_0^1 0\,dt+\int_0^1 1\,dt+\int_0^1 0\,dt+\int_0^1 0\,dt =1.

Resposta

O trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de C é W=1.

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