- O momento de inércia de uma curva com relação a um eixo é dado pela integral sobre a curva do produto do quadrado da distância ao eixo pela densidade de massa. Calcule o momento de inércia de um círculo homogêneo de raio
e massa
com relação a um eixo no plano do círculo passando pelo centro.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um disco homogêneo de raio
e massa
em relação a um eixo que fica no próprio plano do disco e passa pelo seu centro. O conteúdo principal aqui é usar a definição
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 2
Como o disco é homogêneo, definimos a densidade superficial constante
e podemos escrever
, sendo
o elemento de área no disco.
Passo 3
Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas
com o eixo de rotação ao longo de
. Nesse caso, a distância de um ponto
ao eixo é
. Logo
Passo 4
Passamos para coordenadas polares
, onde
Então
Passo 5
Calculemos separadamente as integrais:
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