Questão 1. Calcule:
\int \sqrt{x} \ln (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x}\,\ln(3x)\,dx.
Informações dadas e o que temos na mão:
  • A função integranda é o produto de \sqrt{x} e \ln(3x).
  • Não há limites de integração (é uma primitiva), então o resultado terá uma constante de integração C.
  • Precisamos encontrar uma expressão em termos de x cuja derivada seja \sqrt{x}\,\ln(3x).

Passo 2

Escolha do método: integração por partes. Vou explicar por quê de forma simples e divertida. A integração por partes é indicada quando temos um produto de duas funções, uma das quais fica mais simples quando derivada e a outra é fácil de integrar. A fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui é natural escolher u como a parte que fica mais simples ao derivar (a log), e dv como a parte fácil de integrar (a raiz). Então tomo
u = \ln(3x),\qquad dv = \sqrt{x}\,dx.
Motivo: a derivada de \ln(3x) fica simples (é 1/x, veja abaixo) e \sqrt{x}=x^{1/2} tem integral trivial.

Passo 3

Calcular v a partir de dv. Escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. Integramos:
v=\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.
Aqui usei a regra de potência para integrais: \int x^{a}\,dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} para a\neq -1. No nosso caso a=\tfrac{1}{2}, então a+1=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Calcular du a partir de u. Temos u=\ln(3x). Pela regra da cadeia, a derivada de \ln(3x) é
\frac{d}{dx}\ln(3x)=\frac{1}{3x}\cdot 3 = \frac{1}{x},
ou seja
du = \frac{1}{x}\,dx.
Observação: a constante 3 dentro do log cancela com a derivada da função interna; por isso a derivada é simplesmente 1/x.

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes:
\int \sqrt{x}\,\ln(3x)\,dx = u\,v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \sqrt{x}\,\ln(3x)\,dx = \left(\ln(3x)\right)\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) - \int \left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\left(\frac{1}{x}\right)\,dx.
Simplificando dentro da integral: x^{3/2}\cdot \dfrac{1}{x}=x^{1/2}. Logo
\int \sqrt{x}\,\ln(3x)\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln(3x) - \frac{2}{3}\int x^{1/2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \int x^{1/2}\,dx. Novamente pela regra de potência:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Substituindo de volta:
\int \sqrt{x}\,\ln(3x)\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln(3x) - \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} + C.

Passo 7

Simplificar os coeficientes. Temos \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}. Assim
\int \sqrt{x}\,\ln(3x)\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln(3x) - \frac{4}{9}x^{3/2} + C.
Uma forma mais compacta, fatorando x^{3/2} e \dfrac{2}{9}, é
\int \sqrt{x}\,\ln(3x)\,dx = \frac{2}{9}x^{3/2}\bigl(3\ln(3x)-2\bigr) + C.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais bonita.

Resposta

\dfrac{2}{9}x^{3/2}\bigl(3\ln(3x)-2\bigr)+C

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