Questão 1. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que temos na mão:
- A função integranda é o produto de
e . - Não há limites de integração (é uma primitiva), então o resultado terá uma constante de integração
. - Precisamos encontrar uma expressão em termos de
cuja derivada seja .
Passo 2
Escolha do método: integração por partes. Vou explicar por quê de forma simples e divertida. A integração por partes é indicada quando temos um produto de duas funções, uma das quais fica mais simples quando derivada e a outra é fácil de integrar. A fórmula é
Aqui é natural escolher
como a parte que fica mais simples ao derivar (a log), e
como a parte fácil de integrar (a raiz). Então tomo
Motivo: a derivada de
fica simples (é
, veja abaixo) e
tem integral trivial.
Passo 3
Calcular
a partir de
. Escrevemos
. Integramos:
Aqui usei a regra de potência para integrais:
para
. No nosso caso
, então
.
Passo 4
Calcular
a partir de
. Temos
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
ou seja
Observação: a constante
dentro do log cancela com a derivada da função interna; por isso a derivada é simplesmente
.
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando dentro da integral:
. Logo
Passo 6
Calcular a integral restante
. Novamente pela regra de potência:
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificar os coeficientes. Temos
. Assim
Uma forma mais compacta, fatorando
e
, é
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais bonita.