Determine o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
f(x, y)=y^{2} / x \quad P(1,1), \quad u=\frac{1}{3}(2 i+\sqrt{5} j)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f e a taxa de variação direcional de f no ponto P(1,1) na direção do vetor \displaystyle u=\frac{1}{3}(2\,i+\sqrt{5}\,j).
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para obter o gradiente e definição de derivada direcional como produto escalar do gradiente com o vetor unitário.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \displaystyle f(x,y)=\frac{y^2}{x}.
\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{y^2}{x^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2y}{x}.

Passo 3

Avaliamoas em P(1,1):
\nabla f(1,1) =\Bigl(-\tfrac{1^2}{1^2},\,\tfrac{2\cdot1}{1}\Bigr) =(-1,2).
Verificamos que
\|u\| =\sqrt{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{4+5}{9}}=1,
logo u já é unitário.

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção u é
D_u f(1,1) =\nabla f(1,1)\cdot u =(-1,2)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{\sqrt{5}}{3}\Bigr) =-\tfrac{2}{3}+\tfrac{2\sqrt{5}}{3} =\tfrac{2(\sqrt{5}-1)}{3}.

Resposta

\displaystyle \nabla f(1,1)=(-1,2), \displaystyle D_{u}f(1,1)=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{3}.

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