Determine o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
f(x, y)=y^{2} / x \quad P(1,1), \quad u=\frac{1}{3}(2 i+\sqrt{5} j)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{y^2}{x},
o ponto P=(1,1) e o vetor de direção \displaystyle \mathbf{u}=\frac{1}{3}(2\,\mathbf{i}+\sqrt{5}\,\mathbf{j}).
Pede o gradiente de f em P (que usa derivadas parciais) e a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{u}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{y^2}{x}\Bigr) = -\frac{y^2}{x^2}
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{y^2}{x}\Bigr) = \frac{2y}{x}

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(1,1):
\nabla f(1,1) =\Bigl(-\frac{1^2}{1^2},\,\frac{2\cdot1}{1}\Bigr) =(-1,\,2).

Passo 4

Verificar que \mathbf{u} é unitário: \|\mathbf{u}\|=\frac{1}{3}\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2} =\frac{1}{3}\sqrt{4+5}=1.

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção \mathbf{u} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(P) =\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} =(-1,2)\cdot\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr) =\frac{-2+2\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\nabla f(1,1)=(-1,2) \displaystyle D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\frac{-2+2\sqrt{5}}{3}.

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