Resolva as EDOs abaixo.
\frac{d y}{d x}=y\left(x y^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=y\bigl(x\,y^{3}-1\bigr).
Este tipo de EDO pode ser reescrito como
\frac{dy}{dx}+y = x\,y^{4},
que é uma equação de Bernoulli de grau n=4. Para resolvê-la, vamos aplicar a substituição padrão dessa classe de equações.

Passo 2

Dividimos todos os termos por y^{4} (supondo y\neq0) para obter
y^{-4}\,\frac{dy}{dx} \;+\; y^{-3} \;=\; x.
Agora definimos a nova variável
u = y^{-3}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x. Como u=y^{-3},
\frac{du}{dx} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx}.
Isolando y^{-4}\,\tfrac{dy}{dx} temos
y^{-4}\,\frac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{3}\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituímos na equação de Passo 2:
-\tfrac{1}{3}\,\frac{du}{dx} + u = x.
Multiplicando por -3 para ficar no formato linear padrão:
\frac{du}{dx} - 3\,u = -3\,x.

Passo 5

Este é um caso de equação linear em u. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int(-3)\,dx} = e^{-3x}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x)
e^{-3x}\,\frac{du}{dx} - 3\,e^{-3x}\,u = -3x\,e^{-3x},
ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-3x}\bigr) = -3x\,e^{-3x}.
Integramos em x:
u\,e^{-3x} = \int -3x\,e^{-3x}\,dx + C.

Passo 6

Para calcular a integral, usamos integração por partes ou reconhecemos que
\int -3x\,e^{-3x}\,dx = x\,e^{-3x} + \tfrac{1}{3}\,e^{-3x} + C_1.
Logo,
u\,e^{-3x} = x\,e^{-3x} + \tfrac{1}{3}\,e^{-3x} + C,
em que C engloba constantes de integração. Multiplicando por e^{3x}:
u = x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}.

Passo 7

Voltando à variável original, u=y^{-3}, obtemos
y^{-3} = x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}.
Dessa forma,
y(x) = \bigl(x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.
Além disso, y=0 é solução trivial da EDO.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \bigl(x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}
com C constante arbitrária, mais a solução trivial y(x)=0.

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