Resolva as EDOs abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este tipo de EDO pode ser reescrito como
que é uma equação de Bernoulli de grau
. Para resolvê-la, vamos aplicar a substituição padrão dessa classe de equações.
Passo 2
Dividimos todos os termos por
(supondo
) para obter
Agora definimos a nova variável
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
. Como
,
Isolando
temos
Passo 4
Substituímos na equação de Passo 2:
Multiplicando por
para ficar no formato linear padrão:
Passo 5
Este é um caso de equação linear em
. O fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
dá
ou seja,
Integramos em
:
Passo 6
Para calcular a integral, usamos integração por partes ou reconhecemos que
Logo,
em que
engloba constantes de integração. Multiplicando por
:
Passo 7
Voltando à variável original,
, obtemos
Dessa forma,
Além disso,
é solução trivial da EDO.
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária, mais a solução trivial
.