Exemplo 3.12: Seja
.
a) Calcule o limite de
quando
tende a
ao longo: (i) de cada reta que passa pela origem e (ii) da parábola
.
b) Existe
? Em caso afirmativo, qual o seu valor ?
a) Calcule o limite de
b) Existe
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o limite em
quando nos aproximamos por duas famílias de curvas: (i) retas que passam pela origem e (ii) a parábola
. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e vamos resolver substituindo cada curva e reduzindo a um limite univariável.
Passo 2
Para as retas use
, com
fixo. Substituindo em
:
Como
, isso tende a
Passo 3
Para a parábola use
. Substituindo:
Como
, isso também tende a
Passo 4
Os limites ao longo de qualquer reta
e ao longo da parábola
são todos iguais a
. Não encontramos nenhum caminho que dê valor diferente, portanto o limite geral existe e vale
.
Resposta
a)(i)
; (ii)
b) Sim, .
b) Sim,