Exemplo 3.12: Seja f(x, y)=\frac{2 x^{2} y}{3 x^{2}+.3 y^{2}}.
a) Calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo: (i) de cada reta que passa pela origem e (ii) da parábola x=y^{2}.
b) Existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ? Em caso afirmativo, qual o seu valor ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{2x^2y}{3x^2+0.3y^2}
e pede o limite em (0,0) quando nos aproximamos por duas famílias de curvas: (i) retas que passam pela origem e (ii) a parábola x=y^2. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e vamos resolver substituindo cada curva e reduzindo a um limite univariável.

Passo 2

Para as retas use y=mx, com m fixo. Substituindo em f:
f(x,mx) =\frac{2x^2\,(m x)}{3x^2+0.3\,(m x)^2} =\frac{2m\,x^3}{x^2\bigl(3+0.3m^2\bigr)} =\frac{2m\,x}{3+0.3m^2}.
Como x\to0, isso tende a
\lim_{x\to0}f(x,mx) =0.

Passo 3

Para a parábola use x=y^2. Substituindo:
f(y^2,y) =\frac{2\,(y^2)^2\,y}{3\,(y^2)^2+0.3\,y^2} =\frac{2\,y^5}{y^2\bigl(3y^2+0.3\bigr)} =\frac{2\,y^3}{3y^2+0.3}.
Como y\to0, isso também tende a
\lim_{y\to0}f(y^2,y) =0.

Passo 4

Os limites ao longo de qualquer reta y=mx e ao longo da parábola x=y^2 são todos iguais a 0. Não encontramos nenhum caminho que dê valor diferente, portanto o limite geral existe e vale 0.

Resposta

a)(i) 0; (ii) 0
b) Sim, \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

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