Determine:
O gradiente dos seguintes campos escalares:
T=2 e^{-2 x}+(\cos 3 x y) x^{2} y^{3}, E=2 x(\sin 3 y) z^{2},

Passo 1

O enunciado dá dois campos escalares e pede o gradiente de cada um. As funções fornecidas são (peguei exatamente do enunciado):
  • T(x,y)=2 e^{-2 x}+(\cos(3 x y))\,x^{2} y^{3}.
  • E(x,y,z)=2 x(\sin(3 y))\,z^{2}.
O que é pedido:
  • Calcular as derivadas parciais necessárias e, em seguida, o gradiente de T (variáveis x,y) e o gradiente de E (variáveis x,y,z).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (explicação didática):
  • O gradiente de um campo escalar é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais em relação às coordenadas. Em símbolos:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)
quando f=f(x,y), e
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)
quando f=f(x,y,z).
  • Para calcular cada componente usamos derivadas parciais: derivamos a função em relação a uma variável tratando as outras como constantes.
  • Ferramentas que vamos usar (lembrinha rápida):
    • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'.
    • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dx} \varphi(g(x))=\varphi'(g(x))\cdot g'(x).
      Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Preparação: identificar estruturas nas funções para aplicar as regras.
  • Em T o segundo termo é produto de três fatores: x^{2}, y^{3} e \cos(3xy). Ao derivar em x ou y usarei a regra do produto (podendo pensar em dois em dois) e a regra da cadeia para \cos(3xy).
  • Em E temos o produto 2x\cdot \sin(3y)\cdot z^{2}. Observe que \sin(3y) depende só de y e z^{2} só de z, o que facilita as parciais.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial T}{\partial x} passo a passo.
  1. Derivada do primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2 e^{-2x}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}\big)=2\cdot(-2)e^{-2x}=-4 e^{-2x}.
Expliquei: usei a derivada de e^{u} com u=-2x, então u'=-2.
  1. Derivada do segundo termo x^{2}y^{3}\cos(3xy) em relação a x.
    Trate y como constante. Faço a derivada por partes (produto x^{2} vezes y^{3}\cos(3xy)):
  • Derivando x^{2} e mantendo o resto:
\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y^{3}\cos(3xy)=2x\cdot y^{3}\cos(3xy).
  • Mantendo x^{2} e derivando y^{3}\cos(3xy) (lembrando que y^{3} é constante aqui):
x^{2}\cdot \frac{d}{dx}\big(y^{3}\cos(3xy)\big)=x^{2}\cdot y^{3}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(3xy)\big).
Agora aplico a regra da cadeia à \cos(3xy):
\frac{d}{dx}\big(\cos(3xy)\big)=-\sin(3xy)\cdot\frac{d}{dx}(3xy)=-\sin(3xy)\cdot 3y.
Assim essa parte vira
x^{2}\cdot y^{3}\cdot\big(-3y\sin(3xy)\big)=-3x^{2}y^{4}\sin(3xy).
Somando as duas contribuições do segundo termo:
2x y^{3}\cos(3xy)-3x^{2}y^{4}\sin(3xy).
  1. Juntando tudo:
\frac{\partial T}{\partial x}=-4 e^{-2x}+2x y^{3}\cos(3xy)-3x^{2}y^{4}\sin(3xy).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial T}{\partial y} passo a passo.
  1. O primeiro termo 2 e^{-2x} não depende de y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(2 e^{-2x}\big)=0.
  1. Derivada do segundo termo x^{2}y^{3}\cos(3xy) em relação a y.
    Agora x é tratado como constante. Posso colocar x^{2} fora e derivar y^{3}\cos(3xy).
  • Derivando y^{3}\cos(3xy) uso produto:
    • Derivando y^{3} e mantendo \cos(3xy):
    3y^{2}\cos(3xy).
    • Mantendo y^{3} e derivando \cos(3xy) (agora com respeito a y):
    y^{3}\cdot\frac{d}{dy}\big(\cos(3xy)\big)=y^{3}\cdot\big(-\sin(3xy)\cdot\frac{d}{dy}(3xy)\big)=y^{3}\cdot\big(-\sin(3xy)\cdot 3x\big)=-3x y^{3}\sin(3xy).
  • Somando as duas partes:
3y^{2}\cos(3xy)-3x y^{3}\sin(3xy).
Multiplicando por x^{2} (que estava fora):
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\cos(3xy)\big)=x^{2}\big(3y^{2}\cos(3xy)-3x y^{3}\sin(3xy)\big).
  1. Simplificando:
\frac{\partial T}{\partial y}=3x^{2}y^{2}\cos(3xy)-3x^{3}y^{3}\sin(3xy).

Passo 6

Resumo das derivadas parciais de T já obtidas (não as vou reunir na forma de vetor aqui; o vetor final fica na seção de resposta):
\frac{\partial T}{\partial x}=-4 e^{-2x}+2x y^{3}\cos(3xy)-3x^{2}y^{4}\sin(3xy),
\frac{\partial T}{\partial y}=3x^{2}y^{2}\cos(3xy)-3x^{3}y^{3}\sin(3xy).

Passo 7

Agora cálculo das derivadas parciais de E(x,y,z)=2x\sin(3y)z^{2}.
Observação: E é produto de fatores que dependem separadamente das variáveis:
  • 2x depende só de x.
  • \sin(3y) depende só de y.
  • z^{2} depende só de z.
    Isso torna as parciais diretas.
  1. Derivada parcial em relação a x:
    Trato \sin(3y) e z^{2} como constantes:
\frac{\partial E}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(2x)\cdot\sin(3y)\cdot z^{2}=2\cdot\sin(3y)\cdot z^{2}.
  1. Derivada parcial em relação a y:
    Agora x e z são constantes; uso regra da cadeia em \sin(3y):
\frac{\partial E}{\partial y}=2x\cdot z^{2}\cdot\frac{d}{dy}\big(\sin(3y)\big)=2x z^{2}\cdot \big(\cos(3y)\cdot 3\big)=6x z^{2}\cos(3y).
  1. Derivada parcial em relação a z:
    Aqui 2x e \sin(3y) são constantes; derivada de z^{2} é 2z:
\frac{\partial E}{\partial z}=2x\sin(3y)\cdot 2z =4x z\sin(3y).

Passo 8

Resumo das derivadas parciais de E (componentes já calculadas):
\frac{\partial E}{\partial x}=2 z^{2}\sin(3y), \qquad \frac{\partial E}{\partial y}=6 x z^{2}\cos(3y), \qquad \frac{\partial E}{\partial z}=4 x z\sin(3y).

Resposta

\nabla T=\big(-4 e^{-2x}+2x y^{3}\cos(3xy)-3x^{2}y^{4}\sin(3xy),\;3x^{2}y^{2}\cos(3xy)-3x^{3}y^{3}\sin(3xy)\big)
\nabla E=\big(2 z^{2}\sin(3y),\;6 x z^{2}\cos(3y),\;4 x z\sin(3y)\big)

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