Determine:
O gradiente dos seguintes campos escalares:
,
O gradiente dos seguintes campos escalares:
Passo 1
O enunciado dá dois campos escalares e pede o gradiente de cada um. As funções fornecidas são (peguei exatamente do enunciado):
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular as derivadas parciais necessárias e, em seguida, o gradiente de
(variáveis ) e o gradiente de (variáveis ).
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (explicação didática):
- O gradiente de um campo escalar é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais em relação às coordenadas. Em símbolos:
quando
, e
quando
.
- Para calcular cada componente usamos derivadas parciais: derivamos a função em relação a uma variável tratando as outras como constantes.
- Ferramentas que vamos usar (lembrinha rápida):
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.
- Regra do produto:
Passo 3
Preparação: identificar estruturas nas funções para aplicar as regras.
- Em
o segundo termo é produto de três fatores: , e . Ao derivar em ou usarei a regra do produto (podendo pensar em dois em dois) e a regra da cadeia para . - Em
temos o produto . Observe que depende só de e só de , o que facilita as parciais.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Derivada do primeiro termo:
Expliquei: usei a derivada de
com
, então
.
- Derivada do segundo termo
em relação a .
Tratecomo constante. Faço a derivada por partes (produto vezes ):
- Derivando
e mantendo o resto:
- Mantendo
e derivando (lembrando que é constante aqui):
Agora aplico a regra da cadeia à
:
Assim essa parte vira
Somando as duas contribuições do segundo termo:
- Juntando tudo:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- O primeiro termo
não depende de , então
- Derivada do segundo termo
em relação a .
Agoraé tratado como constante. Posso colocar fora e derivar .
- Derivando
uso produto: - Derivando
e mantendo :
- Mantendo
e derivando (agora com respeito a ):
- Derivando
- Somando as duas partes:
Multiplicando por
(que estava fora):
- Simplificando:
Passo 6
Resumo das derivadas parciais de
já obtidas (não as vou reunir na forma de vetor aqui; o vetor final fica na seção de resposta):
Passo 7
Agora cálculo das derivadas parciais de
.
Observação:
é produto de fatores que dependem separadamente das variáveis:
-
depende só de . -
depende só de . -
depende só de .
Isso torna as parciais diretas.
- Derivada parcial em relação a
:
Tratoe como constantes:
- Derivada parcial em relação a
:
Agorae são constantes; uso regra da cadeia em :
- Derivada parcial em relação a
:
Aquie são constantes; derivada de é :
Passo 8
Resumo das derivadas parciais de
(componentes já calculadas):