Para os vetores \mathbf{W}=4 \mathbf{a}_{\mathrm{x}}+2 \mathbf{a}_{\mathrm{y}}-3 \mathbf{a}_{\mathrm{z}} \mathrm{e} \mathbf{U}=-2 \mathbf{a}_{\mathrm{x}}-\mathbf{a}_{\mathrm{y}}+5 \mathbf{a}_{\mathrm{z}}, com ângulo de 60^{\circ} entre eles, calcule:
a) O produto escalar.
b) O produto vetorial.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e um ângulo entre eles, e pede duas coisas:
  • Vetores dados (peguei estes diretamente do enunciado):
    • \mathbf{W}=4\,\mathbf{a}_{\mathrm{x}}+2\,\mathbf{a}_{\mathrm{y}}-3\,\mathbf{a}_{\mathrm{z}}.
    • \mathbf{U}=-2\,\mathbf{a}_{\mathrm{x}}-1\,\mathbf{a}_{\mathrm{y}}+5\,\mathbf{a}_{\mathrm{z}}.
  • Diz também que o ângulo entre eles é 60^\circ.
Perguntas:
a) Calcular o produto escalar \mathbf{W}\cdot\mathbf{U}.
b) Calcular o produto vetorial \mathbf{W}\times\mathbf{U}.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar em coordenadas e como usá-lo (aula curtinha e prática).
  • Definição em componentes: para \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z),
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Aqui cada A_x,A_y,A_z são as componentes do vetor \mathbf{A} nas direções \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z (idem para \mathbf{B}); o produto escalar é um número que mede “quanto” os vetores apontam na mesma direção.
Agora aplico isso aos vetores dados:
  • As componentes são \mathbf{W}=(4,2,-3) e \mathbf{U}=(-2,-1,5).
    Calculo passo a passo:
\mathbf{W}\cdot\mathbf{U}=4\cdot(-2) + 2\cdot(-1) + (-3)\cdot 5.
Fazendo as multiplicações:
4\cdot(-2) = -8,\qquad 2\cdot(-1)=-2,\qquad (-3)\cdot 5=-15.
Somando:
\mathbf{W}\cdot\mathbf{U}=-8-2-15=-25.

Passo 3

Breve verificação conceitual (isso ajuda a entender possíveis contradições): existe também a fórmula geométrica
\mathbf{W}\cdot\mathbf{U}=\|\mathbf{W}\|\,\|\mathbf{U}\|\,\cos\theta,
onde \|\mathbf{W}\| é a norma (magnitude) de \mathbf{W}, \|\mathbf{U}\| a de \mathbf{U}, e \theta o ângulo entre eles. Vou calcular as normas para checar a consistência com o 60^\circ informado.
Cálculo das normas:
\|\mathbf{W}\|=\sqrt{4^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}.
\|\mathbf{U}\|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}.
Se usássemos \theta=60^\circ, então \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e o produto escalar geométrico seria
\|\mathbf{W}\|\,\|\mathbf{U}\|\,\cos60^\circ=\sqrt{29}\sqrt{30}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{870}}{2}\approx 14{,}77,
o que NÃO bate com o valor calculado por componentes -25.
Portanto os dados são inconsistente entre si: os componentes dos vetores determinam unicamente o produto escalar (já calculado: -25); o ângulo 60^\circ fornecido não é compatível com esses componentes. Para fins práticos e matemáticos, quando as componentes estão dadas, elas são a fonte definitiva — por isso aceitamos \mathbf{W}\cdot\mathbf{U}=-25 como resposta correta. (Se fosse necessário forçar \theta=60^\circ, as componentes teriam de ser diferentes.)

Passo 4

Agora vamos ao produto vetorial. Primeiro a definição prática para cálculo em coordenadas (determinante):
\mathbf{W}\times\mathbf{U}= \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\[2pt] W_x & W_y & W_z\\[2pt] U_x & U_y & U_z \end{vmatrix}.
Isto resulta em componentes
(\,W_yU_z - W_zU_y\,)\,\mathbf{a}_x - (\,W_xU_z - W_zU_x\,)\,\mathbf{a}_y + (\,W_xU_y - W_yU_x\,)\,\mathbf{a}_z.
Aplicando com \mathbf{W}=(4,2,-3) e \mathbf{U}=(-2,-1,5):
Componente em \mathbf{a}_x:
W_yU_z - W_zU_y = 2\cdot5 - (-3)\cdot(-1) = 10 - 3 = 7.
Componente em \mathbf{a}_y (atenção ao sinal negativo da fórmula):
-(W_xU_z - W_zU_x) = -\big(4\cdot5 - (-3)\cdot(-2)\big) = -\big(20 - 6\big) = -14.
Componente em \mathbf{a}_z:
W_xU_y - W_yU_x = 4\cdot(-1) - 2\cdot(-2) = -4 -(-4) = 0.
Logo
\mathbf{W}\times\mathbf{U}=7\,\mathbf{a}_x -14\,\mathbf{a}_y + 0\,\mathbf{a}_z.
Podemos escrever de forma mais enxuta:
\mathbf{W}\times\mathbf{U}=7\,\mathbf{a}_x -14\,\mathbf{a}_y.]

Passo 5

Checagem rápida de coerência com a relação geométrica do módulo do produto vetorial:
\|\mathbf{W}\times\mathbf{U}\|=\|\mathbf{W}\|\,\|\mathbf{U}\|\,\sin\theta.
Calculando o módulo obtido:
\|\mathbf{W}\times\mathbf{U}\|=\sqrt{7^2+(-14)^2+0^2}=\sqrt{49+196}=\sqrt{245}=7\sqrt{5}\approx15{,}65.
Se usarmos o ângulo consistente com as componentes (obtido a partir do produto escalar: \cos\theta=-25/\sqrt{870}, daí \theta\approx148{,}1^\circ), a relação geométrica também se verifica (pois \sin148{,}1^\circ\approx0{,}5294 e \sqrt{29}\sqrt{30}\cdot0{,}5294\approx15{,}65). Se usássemos \theta=60^\circ daria um valor diferente, confirmando novamente que o ângulo 60^\circ fornecido é incompatível com as componentes.

Resposta

\mathbf{W}\cdot\mathbf{U}=-25
\mathbf{W}\times\mathbf{U}=7\,\mathbf{a}_{\mathrm{x}}-14\,\mathbf{a}_{\mathrm{y}}

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