Para os vetores \mathbf{W}=4 \mathbf{a}_{\mathrm{x}}+2 \mathbf{a}_{\mathrm{y}}-3 \mathbf{a}_{\mathrm{z}} \mathrm{e} \mathbf{U}=-2 \mathbf{a}_{\mathrm{x}}-\mathbf{a}_{\mathrm{y}}+5 \mathbf{a}_{\mathrm{z}}, com ângulo de 60^{\circ} entre eles, calcule:
a) O produto escalar.
b) O produto vetorial.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores e um ângulo entre eles, e pede duas coisas:
Vetores dados (peguei estes diretamente do enunciado):
Aqui cada A_x,A_y,A_z são as componentes do vetor \mathbf{A} nas direções \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z (idem para \mathbf{B}); o produto escalar é um número que mede “quanto” os vetores apontam na mesma direção.
Agora aplico isso aos vetores dados:
As componentes são \mathbf{W}=(4,2,-3) e \mathbf{U}=(-2,-1,5).
Calculo passo a passo:
onde \|\mathbf{W}\| é a norma (magnitude) de \mathbf{W}, \|\mathbf{U}\| a de \mathbf{U}, e \theta o ângulo entre eles. Vou calcular as normas para checar a consistência com o 60^\circ informado.
o que NÃO bate com o valor calculado por componentes -25.
Portanto os dados são inconsistente entre si: os componentes dos vetores determinam unicamente o produto escalar (já calculado: -25); o ângulo 60^\circ fornecido não é compatível com esses componentes. Para fins práticos e matemáticos, quando as componentes estão dadas, elas são a fonte definitiva — por isso aceitamos \mathbf{W}\cdot\mathbf{U}=-25 como resposta correta. (Se fosse necessário forçar \theta=60^\circ, as componentes teriam de ser diferentes.)
Passo 4
Agora vamos ao produto vetorial. Primeiro a definição prática para cálculo em coordenadas (determinante):
Se usarmos o ângulo consistente com as componentes (obtido a partir do produto escalar: \cos\theta=-25/\sqrt{870}, daí \theta\approx148{,}1^\circ), a relação geométrica também se verifica (pois \sin148{,}1^\circ\approx0{,}5294 e \sqrt{29}\sqrt{30}\cdot0{,}5294\approx15{,}65). Se usássemos \theta=60^\circ daria um valor diferente, confirmando novamente que o ângulo 60^\circ fornecido é incompatível com as componentes.