Determine:
c) \mathbf{P} \cdot \mathbf{Q} \times \mathbf{R};
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores expressos nas direções unitárias \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z e pede o valor de \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}). As informações fornecidas são (peguei estes componentes do enunciado):
A pergunta é: calcular \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}).
Passo 2
O que é \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R})? Isso se chama produto misto ou produto triplo escalar. É um número (escalar) que mede o volume do paralelepípedo determinado pelos três vetores, com sinal dependendo da orientação. Há duas maneiras práticas equivalentes para calcular:
Calcular \mathbf{Q}\times\mathbf{R} (um vetor) e então fazer o produto escalar com \mathbf{P}.
Usar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores \mathbf{P},\mathbf{Q},\mathbf{R}. Ou seja,
Vou usar as duas formas: primeiro a forma do determinante (porque costuma ser mais curta), depois mostrar que obteríamos o mesmo resultado calculando \mathbf{Q}\times\mathbf{R} e fazendo o escalar com \mathbf{P} (útil para fixar a ideia).]
Passo 3
Extraio as componentes dos vetores a partir do enunciado (isto é, peguei estes números do enunciado):
Faço a expansão pela primeira linha: se a primeira linha é (a,b,c), então
\begin{vmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix}e & f\\\ h & i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d & f\\\ g & i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d & e\\\ g & h\end{vmatrix}.