Para os vetores:
\begin{aligned} & \mathbf{P}=2 \mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{z} \\\ & \mathbf{Q}=2 \mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{y}+2 \mathbf{a}_{z} \\\ & \mathbf{R}=2 \mathbf{a}_{x}-3 \mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z} \end{aligned}
Determine:
c) \mathbf{P} \cdot \mathbf{Q} \times \mathbf{R};

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores expressos nas direções unitárias \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z e pede o valor de \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}). As informações fornecidas são (peguei estes componentes do enunciado):
\mathbf{P}=2\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{Q}=2\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y+2\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{R}=2\mathbf{a}_x-3\mathbf{a}_y+\mathbf{a}_z.
A pergunta é: calcular \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}).

Passo 2

O que é \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R})? Isso se chama produto misto ou produto triplo escalar. É um número (escalar) que mede o volume do paralelepípedo determinado pelos três vetores, com sinal dependendo da orientação. Há duas maneiras práticas equivalentes para calcular:
  1. Calcular \mathbf{Q}\times\mathbf{R} (um vetor) e então fazer o produto escalar com \mathbf{P}.
  2. Usar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores \mathbf{P},\mathbf{Q},\mathbf{R}. Ou seja,
\mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}) = \begin{vmatrix} P_x & P_y & P_z\\[4pt] Q_x & Q_y & Q_z\\[4pt] R_x & R_y & R_z \end{vmatrix}.
Vou usar as duas formas: primeiro a forma do determinante (porque costuma ser mais curta), depois mostrar que obteríamos o mesmo resultado calculando \mathbf{Q}\times\mathbf{R} e fazendo o escalar com \mathbf{P} (útil para fixar a ideia).]

Passo 3

Extraio as componentes dos vetores a partir do enunciado (isto é, peguei estes números do enunciado):
\mathbf{P}=(2,\;0,\;-1),\qquad \mathbf{Q}=(2,\;-1,\;2),\qquad \mathbf{R}=(2,\;-3,\;1),
onde a ordem é (x,y,z).

Passo 4

Calculo pela fórmula do determinante (expansão pela primeira linha). Monto o determinante:
\mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}.
Faço a expansão pela primeira linha: se a primeira linha é (a,b,c), então
\begin{vmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix}e & f\\\ h & i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d & f\\\ g & i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d & e\\\ g & h\end{vmatrix}.
Aplicando com a=2,\;b=0,\;c=-1:
\begin{aligned} \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}) &= 2\begin{vmatrix}-1 & 2\\\\ -3 & 1\end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix}2 & 2\\\\ 2 & 1\end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix}2 & -1\\\\ 2 & -3\end{vmatrix}. \end{aligned}
Agora calculo os menores 2×2:
\begin{vmatrix}-1 & 2\\\\ -3 & 1\end{vmatrix} = (-1)\cdot 1 - 2\cdot(-3) = -1 + 6 = 5,
\begin{vmatrix}2 & -1\\\\ 2 & -3\end{vmatrix} = 2\cdot(-3) - (-1)\cdot 2 = -6 + 2 = -4.
Substituindo:
\mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}) = 2\cdot 5 - 0\cdot(\cdots) + (-1)\cdot(-4) = 10 + 4 = 14.]

Passo 5

Para ficar redondinho e ver que o outro método dá o mesmo, calculo \mathbf{Q}\times\mathbf{R} e depois \mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}).
O cálculo do produto vetorial usa o determinante com os vetores unitários:
\mathbf{Q}\times\mathbf{R} = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}.
Isso dá, componente a componente:
(\mathbf{Q}\times\mathbf{R})_x = \begin{vmatrix}-1 & 2\\\\ -3 & 1\end{vmatrix} = 5,
(\mathbf{Q}\times\mathbf{R})_y = -\begin{vmatrix}2 & 2\\\\ 2 & 1\end{vmatrix} = -\big(2\cdot1 - 2\cdot2\big) = -\big(2-4\big)= -(-2)=2,
(\mathbf{Q}\times\mathbf{R})_z = \begin{vmatrix}2 & -1\\\\ 2 & -3\end{vmatrix} = -4.
Logo \mathbf{Q}\times\mathbf{R}=(5,\;2,\;-4).
Agora o produto escalar com \mathbf{P}=(2,0,-1):
\mathbf{P}\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{R}) = 2\cdot 5 + 0\cdot 2 + (-1)\cdot(-4) = 10 + 0 + 4 = 14,
confirmando o resultado obtido pelo determinante.]

Resposta

14

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