Determine o grau n do polinômio de Taylor T_{n}(x) de f(x)=e^{x} em torno de a=0 para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler e \approx T_{n}(1) com precisão de três casas decimais (considere 2<e<3 ).

Passo 1

O enunciado pede o grau n do polinômio de Taylor T_{n}(x) de f(x)=e^{x} em torno de a=0 de modo que T_{n}(1) aproxime e=f(1) com precisão de três casas decimais. Vamos usar o resto de Lagrange para estimar o erro entre e e T_{n}(1).

Passo 2

Pelo teorema de Taylor com resto de Lagrange, existe \xi\in(0,1) tal que
R_{n}(1)=e^{\xi}\,\frac{1^{\,n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}.

Passo 3

Como 0<\xi<1, tem-se e^{\xi}\le e. Logo, um limite para o erro é
\bigl|R_{n}(1)\bigr|\le \frac{e}{(n+1)!}.

Passo 4

Para garantir três casas decimais, precisamos que
\bigl|R_{n}(1)\bigr|\le 0,5\times10^{-3}\,.
Assim, basta escolher n tal que
\frac{e}{(n+1)!}\le 0,5\times10^{-3}.

Passo 5

Estimamos \displaystyle\frac{e}{0,5\times10^{-3}}\approx \frac{2{,}718}{0{,}0005}\approx5436,56. Logo queremos
(n+1)!>5436{,}56.
Verificando fatoriais:
7! = 5040<5436{,}56,\quad 8! = 40320>5436{,}56.
Portanto n+1=8, isto é, n=7.

Resposta

7

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