Determine se o conjunto é ou não: (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.
\left{(x, y) \mid x{2}+y{2}>1\right}
\left{(x, y) \mid x{2}+y{2}>1\right}
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
quanto a ser (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.
Conteúdo: topologia em , usando a continuidade da função
, construção de caminhos e análise de buracos (loops não contraíveis).
Conteúdo: topologia em
Passo 2
Para ver que
é aberto, note que a aplicação
é contínua e o conjunto
é aberto. Logo
é aberto por definição de topo-continuidade.
Passo 3
Para mostrar que
é conexo por caminhos, tomemos dois pontos quaisquer
e
com
e
.
Definimos um caminho em três trechos:
Definimos um caminho em três trechos:
- Ir radialmente de
até um ponto muito longe, por exemplo, ao longo da reta que sai de na direção de até alcançar tal que . - Ir ao longo do arco de círculo de raio
que leva a , onde é o ponto de mesma direção de com . - Descer radialmente de
até .
Comopode ser escolhido arbitrariamente grande, todo esse caminho fica em pontos de norma . Cada trecho é contínuo e composto de curvas (retas e arco) dentro de . Assim é conexo por caminhos.
Passo 4
Para ver que
não é simplesmente conexo, basta observar que o laço
está inteiramente em
(pois
mas o conjunto exige
, então podemos empurrar ligeiramente a curva para fora, digamos
com
). Esse laço envolve o “buraco” do disco unitário e não pode ser contraído continuamente a um ponto sem sair de
. Logo
não é simplesmente conexo.
Resposta
(a) Aberto.
(b) Conexo por caminhos.
(c) Não simplesmente conexo.
(b) Conexo por caminhos.
(c) Não simplesmente conexo.