Determine se o conjunto é ou não: (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.
\left{(x, y) \mid x{2}+y{2}>1\right}

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
E = \{(x,y)\in\mathbb R^2 \mid x^2+y^2>1\}
quanto a ser (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.
Conteúdo: topologia em \mathbb R^2, usando a continuidade da função (x,y)\mapsto x^2+y^2, construção de caminhos e análise de buracos (loops não contraíveis).

Passo 2

Para ver que E é aberto, note que a aplicação
f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R,\quad f(x,y)=x^2+y^2
é contínua e o conjunto (1,\infty)\subset\mathbb R é aberto. Logo
E = f^{-1}\bigl((1,\infty)\bigr)
é aberto por definição de topo-continuidade.

Passo 3

Para mostrar que E é conexo por caminhos, tomemos dois pontos quaisquer \,P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2) com \|P\|>1 e \|Q\|>1.
Definimos um caminho em três trechos:
  1. Ir radialmente de P até um ponto P' muito longe, por exemplo, ao longo da reta que sai de P na direção de (x_1,y_1) até alcançar R tal que \|R\|=R_0\gg1.
  2. Ir ao longo do arco de círculo de raio R_0 que leva P' a Q', onde Q' é o ponto de mesma direção de Q com \|Q'\|=R_0.
  3. Descer radialmente de Q' até Q.
    Como R_0 pode ser escolhido arbitrariamente grande, todo esse caminho fica em pontos de norma >1. Cada trecho é contínuo e composto de curvas (retas e arco) dentro de E. Assim E é conexo por caminhos.

Passo 4

Para ver que E não é simplesmente conexo, basta observar que o laço
\gamma(t) = \bigl(\cos t,\;\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi]
está inteiramente em E (pois \|\gamma(t)\|=1 mas o conjunto exige >1, então podemos empurrar ligeiramente a curva para fora, digamos \gamma_\varepsilon(t)=((1+\varepsilon)\cos t,(1+\varepsilon)\sin t) com \varepsilon>0). Esse laço envolve o “buraco” do disco unitário e não pode ser contraído continuamente a um ponto sem sair de E. Logo E não é simplesmente conexo.

Resposta

(a) Aberto.
(b) Conexo por caminhos.
(c) Não simplesmente conexo.

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