Determine se o conjunto é ou não: (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.
{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y<1}

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos o conjunto
S = \{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\ge 0,\;x+y<1\}
quanto a (a) ser aberto em \mathbb{R}^2, (b) ser conexo por caminhos e (c) ser simplesmente conexo. Vamos usar conceitos básicos de topologia em \mathbb{R}^2: vizinhanças para abertura, convexidade para conexidade por caminhos e retração de laços para simplesmente conexo.

Passo 2

Para ver se S é aberto, basta notar que pontos sobre os eixos x=0 ou y=0 não admitem bola aberta em \mathbb{R}^2 contida em S. Por exemplo, em (0,\tfrac12) qualquer bola centrada ali atinge pontos com y<0, que não pertencem a S. Logo, S não é aberto.

Passo 3

Note que S é a interseção dos semi-espaços convexos \{x\ge0\}, \{y\ge0\} e \{x+y<1\}. A interseção de conjuntos convexos é convexa. Em particular, para quaisquer P,Q\in S, o segmento
tP+(1-t)Q,\quad t\in[0,1],
fica inteiro em S. Isso mostra que S é conexo por caminhos.

Passo 4

Convexidade implica que todo laço em S pode ser retraído continuamente a um ponto (basta “deslizar” cada ponto do laço ao longo do segmento que o liga ao ponto-alvo). Portanto S é simplesmente conexo.

Resposta

(a) não aberto
(b) sim, conexo por caminhos
(c) sim, simplesmente conexo

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