Determine se o conjunto é ou não: (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.
{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y<1}
{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y<1}
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos o conjunto
quanto a (a) ser aberto em
, (b) ser conexo por caminhos e (c) ser simplesmente conexo. Vamos usar conceitos básicos de topologia em
: vizinhanças para abertura, convexidade para conexidade por caminhos e retração de laços para simplesmente conexo.
Passo 2
Para ver se
é aberto, basta notar que pontos sobre os eixos
ou
não admitem bola aberta em
contida em
. Por exemplo, em
qualquer bola centrada ali atinge pontos com
, que não pertencem a
. Logo,
não é aberto.
Passo 3
Note que
é a interseção dos semi-espaços convexos
,
e
. A interseção de conjuntos convexos é convexa. Em particular, para quaisquer
, o segmento
fica inteiro em
. Isso mostra que
é conexo por caminhos.
Passo 4
Convexidade implica que todo laço em
pode ser retraído continuamente a um ponto (basta “deslizar” cada ponto do laço ao longo do segmento que o liga ao ponto-alvo). Portanto
é simplesmente conexo.
Resposta
(a) não aberto
(b) sim, conexo por caminhos
(c) sim, simplesmente conexo
(b) sim, conexo por caminhos
(c) sim, simplesmente conexo