Determine os grupos pontuais das seguintes figuras geométricas: círculo, quadrado, paralelogramo, trapézio, triângulo retângulo e triângulo isósceles.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente identifique o “grupo pontual” de cada figura plana: círculo, quadrado, paralelogramo, trapézio, triângulo retângulo e triângulo isósceles. Isso é um exercício de simetria e teoria de grupos: basicamente cada figura tem certas rotações e reflexões que deixam ela “igualzinha”, e essas operações formam um grupo. A gente vai ver, passo a passo, quais são essas operações e qual a notação do grupo pontual (usando Schoenflies): por exemplo
,
,
e até
.
Passo 2
Círculo
– Teoria: o círculo é perfeito, então você pode girar ele por qualquer ângulo e ele fica igual. Além disso, qualquer reta passando pelo centro é eixo de reflexão.
– Conclusão: ele tem infinitas rotações (grupo contínuo de ordem infinita) e infinitas reflexões.
– Notação: esse grupo pontual é chamado de
– Teoria: o círculo é perfeito, então você pode girar ele por qualquer ângulo e ele fica igual. Além disso, qualquer reta passando pelo centro é eixo de reflexão.
– Conclusão: ele tem infinitas rotações (grupo contínuo de ordem infinita) e infinitas reflexões.
– Notação: esse grupo pontual é chamado de
ou às vezes
no caso planar.
Passo 3
Quadrado
– Teoria: um quadrado regular tem rotações de ,
,
e
, e reflexões em 4 eixos (2 eixos passando pelos vértices opostos e 2 eixos passando pelos lados médios).
– Conclusão: são 8 operações no total.
– Notação: esse grupo pontual é o diédro de ordem 8, chamado
– Teoria: um quadrado regular tem rotações de
– Conclusão: são 8 operações no total.
– Notação: esse grupo pontual é o diédro de ordem 8, chamado
Passo 4
Paralelogramo (genérico)
– Teoria: um paralelogramo não-regular só admite uma rotação de que leva cada lado ao oposto. Não há reflexões (a menos que seja retângulo ou losango).
– Conclusão: só temos a identidade e a rotação de .
– Notação: esse é um grupo cíclico de ordem 2, chamado
– Teoria: um paralelogramo não-regular só admite uma rotação de
– Conclusão: só temos a identidade e a rotação de
– Notação: esse é um grupo cíclico de ordem 2, chamado
Passo 5
Trapézio (genérico)
– Teoria: um trapézio genérico (só um par de lados paralelos) não se sobrepõe a si mesmo por nenhuma rotação não trivial, nem por reflexão (a menos que seja isósceles).
– Conclusão: só resta a operação identidade.
– Notação: grupo trivial
– Teoria: um trapézio genérico (só um par de lados paralelos) não se sobrepõe a si mesmo por nenhuma rotação não trivial, nem por reflexão (a menos que seja isósceles).
– Conclusão: só resta a operação identidade.
– Notação: grupo trivial
Passo 6
Triângulo retângulo (genérico)
– Teoria: se ele não for isósceles, as três arestas e três ângulos são todos diferentes (exceto o ângulo de ), então não há rotação nem reflexão que mantenha a figura igual, além da identidade.
– Conclusão: apenas identidade.
– Notação:
– Teoria: se ele não for isósceles, as três arestas e três ângulos são todos diferentes (exceto o ângulo de
– Conclusão: apenas identidade.
– Notação:
Passo 7
Triângulo isósceles
– Teoria: no isósceles, dois lados iguais dão um eixo de simetria (a altura ao lado base), mas nenhuma rotação não trivial vale (rodar 180º não traz de volta ao original).
– Conclusão: temos identidade + uma reflexão.
– Notação: esse grupo pontual é o espelhamento simples, chamado
– Teoria: no isósceles, dois lados iguais dão um eixo de simetria (a altura ao lado base), mas nenhuma rotação não trivial vale (rodar 180º não traz de volta ao original).
– Conclusão: temos identidade + uma reflexão.
– Notação: esse grupo pontual é o espelhamento simples, chamado
(ou às vezes
, mas o padrão é
).
Resposta
Círculo:
Quadrado:
Paralelogramo:
Trapézio:
Triângulo retângulo:
Triângulo isósceles:
Quadrado:
Paralelogramo:
Trapézio:
Triângulo retângulo:
Triângulo isósceles: