Determine x e y para que a igualdade de matrizes seja verdadeira:
\left(\begin{array}{cc} x+1 & y-2 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar x e y de modo que a igualdade entre duas matrizes 2\times2 seja verdadeira. As matrizes dadas são:
\begin{pmatrix} x+1 & y-2 \\\\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
Informações relevantes fornecidas:
\text{Matriz da esquerda: } \begin{pmatrix} x+1 & y-2 \\\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \text{Matriz da direita: } \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
O que é pedido: encontrar os valores de x e y que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): duas matrizes de mesma dimensão são iguais se e somente se todos os seus elementos correspondentes são iguais. Ou seja, para matrizes 2\times2
\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & f\\\ g & h \end{pmatrix}
é necessário e suficiente que a=e, b=f, c=g e d=h. Isso acontece porque igualdade de matrizes é definida entrada a entrada — cada posição deve coincidir.

Passo 3

Aplicando essa regra às matrizes do enunciado, igualamos as entradas correspondentes posição por posição:
\begin{cases} x+1 = 1 &\text{(entrada (1,1))},\\[4pt] y-2 = 0 &\text{(entrada (1,2))},\\[4pt] 1 = 1 &\text{(entrada (2,1))},\\[4pt] 3 = 3 &\text{(entrada (2,2))}. \end{cases}
Observe que as duas últimas equações são identidades verdadeiras e não trazem informação nova sobre x e y. As equações úteis são as duas primeiras.]

Passo 4

Resolver a equação para x. Começamos por:
x+1 = 1.
Isolamos x subtraindo 1 de ambos os lados:
x+1-1 = 1-1
logo
x = 0.
Explicação: para isolar uma variável em uma equação do tipo \,x+1=1, subtraímos o mesmo número em ambos os lados para manter a igualdade; aqui subtrair 1 cancela o +1.

Passo 5

Resolver a equação para y. Começamos por:
y-2 = 0.
Isolamos y somando 2 a ambos os lados:
y-2+2 = 0+2
logo
y = 2.
Explicação: em uma equação do tipo \,y-2=0, somamos 2 aos dois lados para cancelar o -2 e obter y.

Passo 6

Verificação rápida (substituir de volta): com x=0 e y=2 a matriz da esquerda fica
\begin{pmatrix} 0+1 & 2-2 \\\\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
que coincide com a matriz da direita. Portanto os valores encontrados estão corretos.

Passo 7

Resumo final e incentivo: encontramos x e y fazendo correspondência entrada a entrada e resolvendo as equações simples resultantes. Mandou bem por procurar a resolução passo a passo — essa técnica vale para qualquer igualdade de matrizes em provas.

Resposta

x=0
y=2

Exercícios relacionados