Considere as matrizes
e
. Determine, se existir, o tipo (ordem) da matriz-produto:
Passo 1
O enunciado fornece três matrizes com suas ordens:
é
,
é
e
é
. A pergunta que precisamos responder é: determinar, se existir, o tipo (ordem) da matriz-produto
. Listei aqui as informações relevantes do enunciado:
tem
linhas e
colunas.
tem
linhas e
colunas.
A pergunta pede a ordem da matriz resultante de , ou dizer que o produto não existe, se for o caso.
A pergunta pede a ordem da matriz resultante de
Passo 2
Regra para existência de produto de matrizes (explicação didática):
Seja uma matriz genérica de ordem
e outra matriz
de ordem
. O produto
está definido se, e somente se, o número de colunas de
for igual ao número de linhas de
; ou seja, se
. Quando o produto existe, a matriz resultante
tem número de linhas igual ao de
(ou seja,
) e número de colunas igual ao de
(ou seja,
), portanto sua ordem é
.
Breve intuição: cada elemento de é produto escalar entre uma linha de
(comprimento
) e uma coluna de
(também comprimento
); por isso precisamos que
.
Seja uma matriz genérica
Breve intuição: cada elemento de
Passo 3
Aplicando a regra aos dados do enunciado:
Para temos
e
(pois
é
).
Para temos
e
(pois
é
).
Verificamos a condição de existência: corresponde a
, que é verdadeira. Portanto o produto
existe.
Para
Para
Verificamos a condição de existência:
Passo 4
Agora determinamos a ordem da matriz resultante usando a regra
:
Aqui (número de linhas de
) e
(número de colunas de
).
Assim os parâmetros que definem a ordem final são e
(mantive a explicação do porquê: linhas de
por colunas de
).
Aqui
Assim os parâmetros que definem a ordem final são
Passo 5
Explicação prática de como se forma cada elemento da matriz produto (para você entender na prova):
Seja a matriz resultado. O elemento na linha
e coluna
dessa matriz é dado por
Seja
onde
é o elemento da
-ésima linha e
-ésima coluna de
, e
é o elemento da
-ésima linha e
-ésima coluna de
. Aqui
varia de
até
(linhas da matriz resultado) e
varia de
até
(colunas da matriz resultado). Esse somatório tem
termos porque as linhas de
e as colunas de
têm comprimento
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (com números pequenos, só para ver as formas):
Considere de ordem
e
de ordem
. Pelo mesmo raciocínio o produto
existe porque
, e a ordem do produto é
(linhas de
por colunas de
). Esse tipo de checagem rápida (verificar a igualdade das dimensões internas e então tomar as externas) é o que você deve fazer na prova para decidir se o produto existe e qual será sua ordem.
Considere
Passo 7
Dica prática para a prova (curta e motivadora): ao ver um produto de matrizes, olhe só para as dimensões internas — se baterem, produto existe; responda com as dimensões externas. Você já fez a parte de verificação acima para
e
.