Considere as matrizes \mathbf{A}(3 \times 3), \mathbf{B}(3 \times 4) e \mathbf{C}(4 \times 2). Determine, se existir, o tipo (ordem) da matriz-produto:
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes com suas ordens: \mathbf{A} é 3\times3, \mathbf{B} é 3\times4 e \mathbf{C} é 4\times2. A pergunta que precisamos responder é: determinar, se existir, o tipo (ordem) da matriz-produto \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}. Listei aqui as informações relevantes do enunciado:
\mathbf{A} tem 3 linhas e 3 colunas.
\mathbf{B} tem 3 linhas e 4 colunas.
A pergunta pede a ordem da matriz resultante de \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}, ou dizer que o produto não existe, se for o caso.

Passo 2

Regra para existência de produto de matrizes (explicação didática):
Seja uma matriz genérica X de ordem m\times n e outra matriz Y de ordem p\times q. O produto XY está definido se, e somente se, o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y; ou seja, se n=p. Quando o produto existe, a matriz resultante XY tem número de linhas igual ao de X (ou seja, m) e número de colunas igual ao de Y (ou seja, q), portanto sua ordem é m\times q.
Breve intuição: cada elemento de XY é produto escalar entre uma linha de X (comprimento n) e uma coluna de Y (também comprimento p); por isso precisamos que n=p.

Passo 3

Aplicando a regra aos dados do enunciado:
Para \mathbf{A} temos m=3 e n=3 (pois \mathbf{A} é 3\times3).
Para \mathbf{B} temos p=3 e q=4 (pois \mathbf{B} é 3\times4).
Verificamos a condição de existência: n=p corresponde a 3=3, que é verdadeira. Portanto o produto \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} existe.

Passo 4

Agora determinamos a ordem da matriz resultante usando a regra m\times q:
Aqui m=3 (número de linhas de \mathbf{A}) e q=4 (número de colunas de \mathbf{B}).
Assim os parâmetros que definem a ordem final são 3 e 4 (mantive a explicação do porquê: linhas de \mathbf{A} por colunas de \mathbf{B}).

Passo 5

Explicação prática de como se forma cada elemento da matriz produto (para você entender na prova):
Seja (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) a matriz resultado. O elemento na linha i e coluna j dessa matriz é dado por
(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj},
onde a_{ik} é o elemento da i-ésima linha e k-ésima coluna de \mathbf{A}, e b_{kj} é o elemento da k-ésima linha e j-ésima coluna de \mathbf{B}. Aqui i varia de 1 até 3 (linhas da matriz resultado) e j varia de 1 até 4 (colunas da matriz resultado). Esse somatório tem 3 termos porque as linhas de \mathbf{A} e as colunas de \mathbf{B} têm comprimento 3.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (com números pequenos, só para ver as formas):
Considere X de ordem 2\times3 e Y de ordem 3\times2. Pelo mesmo raciocínio o produto XY existe porque 3=3, e a ordem do produto é 2\times2 (linhas de X por colunas de Y). Esse tipo de checagem rápida (verificar a igualdade das dimensões internas e então tomar as externas) é o que você deve fazer na prova para decidir se o produto existe e qual será sua ordem.

Passo 7

Dica prática para a prova (curta e motivadora): ao ver um produto de matrizes, olhe só para as dimensões internas — se baterem, produto existe; responda com as dimensões externas. Você já fez a parte de verificação acima para \mathbf{A} e \mathbf{B}.

Resposta

\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} é uma matriz 3\times4

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