Determine as imagens das funções secante, cossecante e cotangente.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o conjunto imagem (ou alcance) das funções trigonométricas \operatorname{sec} x, \csc x e \cot x. Vamos usar que
  1. \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} e \cos x varia em [-1,1], exceto onde \cos x=0 (domínio de \operatorname{sec}).
  2. \csc x = \frac{1}{\sin x} e \sin x varia em [-1,1], exceto onde \sin x=0 (domínio de \csc).
  3. \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} e \sin x não pode ser zero (domínio de \cot).

Passo 2

Para \operatorname{sec} x: como \cos x\in[-1,1]\setminus\{0\}, seu recíproco satisfaz \bigl|\operatorname{sec} x\bigr|\ge1. Logo
\Im(\operatorname{sec} x)=(-\infty,-1]\;\cup\;[1,\infty).

Passo 3

Para \csc x: de modo análogo, como \sin x\in[-1,1]\setminus\{0\}, vale \bigl|\csc x\bigr|\ge1. Assim
\Im(\csc x)=(-\infty,-1]\;\cup\;[1,\infty).

Passo 4

Para \cot x: a equação \cot x=k é equivalente a \tan x=\tfrac1k, e como \tan x assume todos os valores reais, existe solução para qualquer k\in\mathbb{R}. Portanto
\Im(\cot x)=(-\infty,\infty).

Resposta

\Im(\operatorname{sec} x)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty) \Im(\csc x)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty) \Im(\cot x)=(-\infty,\infty)

Exercícios relacionados