Prove as relações
\begin{aligned} & \operatorname{cotg} x=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{\operatorname{tg} x} & , x \neq \frac{k \pi}{2} \\ 0 & , x=\frac{\pi}{2}+k \pi \end{array}\right. \\ & \operatorname{sec} ^{2} x=1+\operatorname{tg}^{2} x \\ & \operatorname{cossec}^{2} x=1+\operatorname{cotg}^{2} x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para provar três identidades trigonométricas clássicas:
\begin{aligned} \operatorname{cotg} x&=\begin{cases}\frac{1}{\operatorname{tg} x},&x\neq \frac{k\pi}{2},\\[0.3em] 0,&x=\frac\pi2+k\pi,\end{cases}\\\ \operatorname{sec}^2x&=1+\operatorname{tg}^2x,\\\ \operatorname{cosec}^2x&=1+\operatorname{cotg}^2x. \end{aligned}
Vamos usar as definições
\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x},
e a identidade de Pitágoras
\sin^2x+\cos^2x=1.]

Passo 2

Prova de \operatorname{cotg} x=\tfrac1{\operatorname{tg} x} para x\neq \frac{k\pi}{2}:
Como \sin x\neq0 e \cos x\neq0 nesse caso, escrevemos
\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x} \quad\text{e}\quad \operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Logo
\operatorname{cotg} x =\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{1}{\tfrac{\sin x}{\cos x}} =\frac{1}{\operatorname{tg} x}.
Para x=\frac\pi2+k\pi temos \cos x=0 e \sin x=\pm1, então
\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{0}{\pm1}=0,
o que justifica o caso x=\frac\pi2+k\pi.

Passo 3

Prova de \operatorname{sec}^2x=1+\operatorname{tg}^2x:
Partindo da identidade de Pitágoras,
\sin^2x+\cos^2x=1,
dividimos ambos os lados por \cos^2x (válido quando \cos x\neq0):
\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tg}^2x+1=\operatorname{sec}^2x.

Passo 4

Prova de \operatorname{cosec}^2x=1+\operatorname{cotg}^2x:
Novamente da identidade de Pitágoras,
\sin^2x+\cos^2x=1,
agora dividimos por \sin^2x (quando \sin x\neq0):
\frac{\sin^2x}{\sin^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2x} = \frac{1}{\sin^2x} \quad\Longrightarrow\quad 1+\operatorname{cotg}^2x=\operatorname{cosec}^2x.

Resposta

\operatorname{cotg} x=\begin{cases}\dfrac1{\operatorname{tg} x},&x\neq \tfrac{k\pi}{2},\\[0.4em] 0,&x=\tfrac\pi2+k\pi;\end{cases} \quad \operatorname{sec}^2x=1+\operatorname{tg}^2x, \quad \operatorname{cosec}^2x=1+\operatorname{cotg}^2x.]

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