Determine a impedância de um capacitor de 50 \mu \mathrm{~F} a 60 Hz .

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a impedância de um capacitor de 50\\ \mu\mathrm{F} a 60\\ \mathrm{Hz}".
Informações dadas:
  • Capacitância: C=50\\ \mu\mathrm{F}.
  • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Fórmula básica: a impedância de um capacitor, em regime senoidal, é dada por
Z_C=\frac{1}{\mathrm{j}\,\omega C},
onde:
  • \mathrm{j} é a unidade imaginária (usada em engenharia),
  • \omega é a pulsação angular em \mathrm{rad/s},
  • C é a capacitância em farads ( \mathrm{F}).
    Explicação rápida: o capacitor se opõe à variação de tensão; em frequências maiores a oposição (módulo da impedância) diminui. A expressão acima vem da transformada da relação i=C\,\dfrac{dv}{dt} para domínio phasor.

Passo 3

Calcular a pulsação angular \omega. Relação entre frequência e pulsação:
\omega=2\pi f.
Substituindo f=60\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot60 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}99\\ \mathrm{rad/s}.
(Usei \pi\approx3{,}14159265.)

Passo 4

Converter a capacitância para farads. Por definição 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}, então
C = 50\\ \mu\mathrm{F} = 50\times10^{-6}\\ \mathrm{F} = 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.

Passo 5

Calcular o produto \omega C:
\omega C \approx 376{,}9911184 \times 5{,}0\times10^{-5} = 0{,}01884955592\\ \mathrm{s^{-1}}.
(Arredondei para manter poucas casas, mas guardei precisão suficiente.)

Passo 6

Calcular o módulo da impedância, que é 1/(\omega C):
\frac{1}{\omega C}\approx \frac{1}{0{,}01884955592}\approx 53{,}0516477\\ \Omega.
Arredondando a duas casas decimais:
\frac{1}{\omega C}\approx 53{,}05\\ \Omega.

Passo 7

Expressar a impedância completa. Usando a fórmula do Passo 2 e a simplificação algébrica:
Z_C=\frac{1}{\mathrm{j}\,\omega C}=-\mathrm{j}\,\frac{1}{\omega C}.
Substituindo o valor numérico:
Z_C \approx -\mathrm{j}\,53{,}05\\ \Omega.
Isso é a forma retangular: parte real 0 e parte imaginária -53{,}05\\ \Omega. Em forma polar, o módulo é 53{,}05\\ \Omega e o ângulo é -90^\circ (ou -\tfrac{\pi}{2} rad), então
Z_C \approx 53{,}05\angle -90^\circ\\ \Omega.

Passo 8

Interpretação final rápida e incentivo: a impedância é puramente imaginária negativa, o que significa que a corrente no capacitor adianta a tensão em 90^\circ. Tá ficando bom — lembra desses passos: converter unidades, achar \omega, calcular \omega C, e inverter para obter o módulo; a fase de -90^\circ é característica de capacitores.

Resposta

-\mathrm{j}\,53{,}05\\ \Omega (forma retangular)
53{,}05\angle -90^\circ\\ \Omega (forma polar)

Exercícios relacionados