Determine a impedância total de um circuito L C em série.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a impedância total de um circuito composto por um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C conectados em série.
Informações dadas (implícitas no enunciado): há um circuito em regime senoidal (regime permanente) com frequência angular \omega. Não foram dados valores numéricos para L, C ou \omega, então a resposta será uma expressão simbólica em função de L, C e \omega.
Pergunta explícita: obter Z_{\text{total}}, a impedância equivalente vista pelos terminais do circuito série L C.

Passo 2

Conceito básico que vou usar: impedância.
Definição: a impedância Z é a relação entre a tensão fasorial \underline{V} e a corrente fasorial \underline{I},
Z=\frac{\underline{V}}{\underline{I}}.
No domínio fasorial (usando a notação complexa) as relações entre tensão e corrente para indutor e capacitor ficam simples e permitem somar impedâncias quando estão em série. O símbolo j representa a unidade imaginária ( j^2=-1) — em engenharia elétrica costuma usar-se j em vez de i para não confundir com corrente.

Passo 3

Impedância do indutor.
Lei no tempo: a tensão no indutor é v_L(t)=L\,\dfrac{di(t)}{dt}. Em regime senoidal, transformando para o domínio fasorial, a derivada vira multiplicação por j\omega. Assim
\underline{V}_L = j\omega L\,\underline{I}.
Logo a impedância do indutor é
Z_L = \frac{\underline{V}_L}{\underline{I}} = j\omega L.
Explicando os símbolos: \omega é a frequência angular (rad/s), L é a indutância (H), e o produto \omega L tem unidade de ohm e chama-se reatância indutiva.

Passo 4

Impedância do capacitor.
No tempo: a corrente no capacitor é i_C(t)=C\,\dfrac{dv_C(t)}{dt}. No domínio fasorial isso vira \underline{I}_C = j\omega C\,\underline{V}_C. Reescrevendo para a tensão,
\underline{V}_C = \frac{\underline{I}_C}{j\omega C}.
Portanto a impedância do capacitor é
Z_C = \frac{\underline{V}_C}{\underline{I}_C} = \frac{1}{j\omega C}.
Usando 1/j = -j podemos também escrever
Z_C = -\frac{j}{\omega C}.
Aqui \dfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva (em ohms).

Passo 5

Impedância total em série.
Regra: impedâncias em série somam (mesmo que sejam complexas). Então
Z_{\text{total}} = Z_L + Z_C.
Substituindo as expressões encontradas:
Z_{\text{total}} = j\omega L + \frac{1}{j\omega C}.
Simplificando a segunda parcela usando 1/j=-j:
Z_{\text{total}} = j\omega L - \frac{j}{\omega C}.
Fatorando j:
Z_{\text{total}} = j\!\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right).
Observação prática: essa impedância é puramente imaginária (ou seja, sem parte real) — o circuito série L C puro é reativo.

Passo 6

Interpretação física e uso em prova (dicas rápidas).
  • Magnitude da impedância:
|Z_{\text{total}}|=\left|\omega L - \frac{1}{\omega C}\right|.
  • Fase entre tensão e corrente: é +\tfrac{\pi}{2} (ou +90^\circ) se \omega L > \dfrac{1}{\omega C} (comportamento indutivo); é -\tfrac{\pi}{2} (ou -90^\circ) se \omega L < \dfrac{1}{\omega C} (comportamento capacitivo).
  • Frequência de ressonância (onde a impedância é zero): resolver \omega L - \dfrac{1}{\omega C}=0
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Em corrente de prova: para calcular rápido, memorize Z_L=j\omega L, Z_C=1/(j\omega C) e some para série; depois simplifique para j(\omega L - 1/(\omega C)).

Passo 7

Resumo final prático: a impedância total do circuito série L C em regime senoidal é uma expressão simples e útil para identificar ressonância e comportamento indutivo/capacitivo conforme a frequência.

Resposta

Z_{\text{total}} = j\!\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)

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