Exemplo 6

Encontrar a resultante das duas ondas \mathrm{E}_{1}=4 \sin (\omega \mathrm{t}) e \mathrm{E}_{2}=3 \sin \left(\omega \mathrm{t}+90^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas ondas harmônicas de mesma frequência e pede a resultante (ou seja, uma única onda que represente a soma). As informações fornecidas são:
  • \mathrm{E}_1 = 4 \sin(\omega t).
  • \mathrm{E}_2 = 3 \sin\bigl(\omega t + 90^\circ\bigr).
    O que se pede: encontrar a resultante \mathrm{E}(t)=\mathrm{E}_1+\mathrm{E}_2 escrita como uma única senóide com amplitude e fase (por exemplo \mathrm{E}(t)=R\sin(\omega t+\delta)).

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica para simplificar \mathrm{E}_2. A identidade de soma é
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Tomando a=\omega t e b=90^\circ, e lembrando que \cos 90^\circ=0 e \sin 90^\circ=1, obtemos
\sin\bigl(\omega t+90^\circ\bigr)=\cos(\omega t).
Portanto, a partir da expressão dada no enunciado, tem-se
\mathrm{E}_2 = 3\sin\bigl(\omega t+90^\circ\bigr)=3\cos(\omega t).

Passo 3

Escrever a soma direta das duas ondas, já com \mathrm{E}_2 simplificada:
\mathrm{E}(t)=\mathrm{E}_1+\mathrm{E}_2 = 4\sin(\omega t)+3\cos(\omega t).

Passo 4

Queremos reescrever \mathrm{E}(t) como uma única senóide. Use a identidade geral
R\sin(\omega t+\delta)=R\cos\delta\;\sin(\omega t)+R\sin\delta\;\cos(\omega t),
onde:
  • R é a amplitude resultante (número positivo);
  • \delta é a fase da onda resultante.
    Comparando com \mathrm{E}(t)=4\sin(\omega t)+3\cos(\omega t), identificamos os coeficientes:
R\cos\delta = 4,\qquad R\sin\delta = 3.

Passo 5

Calcular a amplitude R ao elevar ao quadrado e somar as duas equações (isso elimina \delta):
R^2\cos^2\delta+R^2\sin^2\delta = 4^2+3^2.
Como \cos^2\delta+\sin^2\delta=1, obtém-se
R^2 = 16+9 = 25 \quad\Rightarrow\quad R=5.
Escolhe-se R=5 positivo porque amplitude é magnitude.

Passo 6

Determinar a fase \delta. Tomando a razão entre as duas identidades obtidas:
\tan\delta = \frac{R\sin\delta}{R\cos\delta} = \frac{3}{4}.
Logo
\delta = \arctan\!\left(\frac{3}{4}\right).
Como R\cos\delta=4>0 e R\sin\delta=3>0, \delta está no primeiro quadrante. Calculando o ângulo:
\delta \approx 36,87^\circ.

Passo 7

Escrever a resultante na forma final usando os valores encontrados:
\mathrm{E}(t)=5\sin\bigl(\omega t+36,87^\circ\bigr).
(Alternativamente pode-se expressar em radianos: \delta\approx0,6435\\ \text{rad}.)

Resposta

\mathrm{E}(t)=5\sin\bigl(\omega t+36,87^\circ\bigr)

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