Exemplo 6
Encontrar a resultante das duas ondas
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas harmônicas de mesma frequência e pede a resultante (ou seja, uma única onda que represente a soma). As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que se pede: encontrar a resultanteescrita como uma única senóide com amplitude e fase (por exemplo ).
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica para simplificar
. A identidade de soma é
Tomando
e
, e lembrando que
e
, obtemos
Portanto, a partir da expressão dada no enunciado, tem-se
Passo 3
Escrever a soma direta das duas ondas, já com
simplificada:
Passo 4
Queremos reescrever
como uma única senóide. Use a identidade geral
onde:
-
é a amplitude resultante (número positivo); -
é a fase da onda resultante.
Comparando com, identificamos os coeficientes:
Passo 5
Calcular a amplitude
ao elevar ao quadrado e somar as duas equações (isso elimina
):
Como
, obtém-se
Escolhe-se
positivo porque amplitude é magnitude.
Passo 6
Determinar a fase
. Tomando a razão entre as duas identidades obtidas:
Logo
Como
e
,
está no primeiro quadrante. Calculando o ângulo:
Passo 7
Escrever a resultante na forma final usando os valores encontrados:
(Alternativamente pode-se expressar em radianos:
.)