(a)Qual a diferença de percurso mínima que provocará uma diferença de fase de 180^{\circ} na luz de comprimento de onda de 800 nm ? (b)Qual a diferença de fase que esta diferença de percurso provocará numa luz de comprimento de onda de 700 nm ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá um dado:
  • Dados fornecidos:
    • comprimento de onda da luz 1: \lambda_1 = 800\\ \mathrm{nm};
    • comprimento de onda da luz 2: \lambda_2 = 700\\ \mathrm{nm}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a diferença de percurso mínima que provoca uma diferença de fase de 180^\circ para a luz de comprimento de onda \lambda_1 = 800\\ \mathrm{nm}?
    • (b) Que diferença de fase essa mesma diferença de percurso (resposta do item (a)) provoca na luz de comprimento de onda \lambda_2 = 700\\ \mathrm{nm}?

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicando cada termo).
  • A diferença de fase \Delta\varphi entre duas ondas que chegam com diferença de percurso \Delta está ligada ao comprimento de onda \lambda pela relação
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta.
  • O que cada símbolo significa:
    • \Delta\varphi é a diferença de fase, em radianos;
    • \lambda é o comprimento de onda da luz (mesma unidade que \Delta);
    • \Delta é a diferença de percurso óptico entre os dois caminhos (distância extra percorrida por uma onda em relação à outra).
  • Explicação simples: a fase completa 2\pi corresponde a uma diferença de percurso igual a \lambda. Se a diferença de percurso for uma fração da onda, a fase muda proporcionalmente.
  • Queremos \Delta\varphi = 180^\circ = \pi radianos. Substituindo na fórmula e resolvendo para \Delta:
\pi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta \quad\Rightarrow\quad \Delta = \frac{\lambda}{2}.
  • Observação: valores gerais que dão 180^\circ são \Delta = (2m+1)\dfrac{\lambda}{2} com m inteiro. O menor valor positivo é \dfrac{\lambda}{2}.

Passo 3

Aplicando ao item (a) — cálculo da diferença de percurso mínima para \lambda_1=800\\ \mathrm{nm}.
  • Usando \Delta = \dfrac{\lambda_1}{2}:
\Delta = \frac{800\\ \mathrm{nm}}{2} = 400\\ \mathrm{nm}.
  • Converter para metros (apenas para termos em SI):
400\\ \mathrm{nm} = 400\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: a menor diferença de percurso que causa 180^\circ numa luz de 800\\ \mathrm{nm} é \Delta = 400\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Aplicando ao item (b) — diferença de fase que essa \Delta provoca na luz de \lambda_2=700\\ \mathrm{nm}.
  • Use a fórmula \Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda_2}\,\Delta com \Delta = 400\\ \mathrm{nm}:
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{700\\ \mathrm{nm}}\cdot 400\\ \mathrm{nm} = 2\pi\cdot\frac{400}{700} = 2\pi\cdot\frac{4}{7} = \frac{8\pi}{7}\\ \text{rad}.
  • Converter para radianos numéricos e para graus:
    • Em radianos: \displaystyle \frac{8\pi}{7}\\ \text{rad}\approx 3,590\\ \text{rad}.
    • Em graus: multiplica-se por \dfrac{180^\circ}{\pi}:
\Delta\varphi_{\text{(graus)}} = \frac{8\pi}{7}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} = \frac{8\cdot180^\circ}{7} = \frac{1440^\circ}{7} \approx 205,714^\circ.
  • Interpretação física curta: a mesma diferença de percurso que dá exatamente 180^\circ para \lambda_1 dá aproximadamente 205,7^\circ para \lambda_2. Note que fase é normalmente considerada módulo 360^\circ, então 205,7^\circ é o valor efetivo dessa diferença.

Passo 5

Resumo didático e dica para prova:
  • Regra prática rápida: para obter 180^\circ entre dois caminhos, a menor diferença de percurso é sempre \dfrac{\lambda}{2}.
  • Se for dada uma \Delta e quiser saber a fase para outra \lambda, usar sempre \Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta e converter para graus se pedirem.
  • Dica mnemônica: uma meia-onda de diferença de percurso troca crista por vale (inversão de fase), por isso \lambda/2 corresponde a 180^\circ.

Resposta

(a) \Delta = 400\\ \mathrm{nm} = 4\times10^{-7}\\ \mathrm{m}
(b) \Delta\varphi = \dfrac{8\pi}{7}\\ \text{rad} \approx 3,590\\ \text{rad} = 205,714^\circ

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