Determine c \in[0,2 \sqrt{3}] que satisfaz o Teorema de Rolle se f(x)=x^{3}-12 x.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede: determinar c\in[0,2\sqrt{3}] que satisfaz o Teorema de Rolle para a função f(x)=x^{3}-12x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-12x.
  • O intervalo é [0,2\sqrt{3}].
    A pergunta concreta é: achar c (no intervalo indicado) tal que a conclusão do Teorema de Rolle vale para f nesse intervalo (ou seja, encontrar c com f'\text{(c)}=0, depois de verificar as hipóteses).

Passo 2

Vou lembrar o enunciado do Teorema de Rolle de forma simples: se uma função f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e satisfaz f(a)=f(b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0.
Agora verifico as hipóteses para a nossa f:
  • Continuidade e diferenciabilidade: f é um polinômio ( f(x)=x^{3}-12x). Polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo \mathbb{R}. Logo f é contínua em [0,2\sqrt{3}] e diferenciável em (0,2\sqrt{3}).
  • Restará verificar se f(0)=f(2\sqrt{3}). Se isso ocorrer, as hipóteses estarão satisfeitas e então existe algum c\in(0,2\sqrt{3}) com f'\text{(c)}=0.

Passo 3

Calculo f(0) e f(2\sqrt{3}).
f(0)=0^{3}-12\cdot 0=0.
f(2\sqrt{3})=(2\sqrt{3})^{3}-12\cdot(2\sqrt{3}).
Calculo passo a passo: (2\sqrt{3})^{3}=8(\sqrt{3})^{3}=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}. E 12\cdot(2\sqrt{3})=24\sqrt{3}. Portanto
f(2\sqrt{3})=24\sqrt{3}-24\sqrt{3}=0.
Como f(0)=0=f(2\sqrt{3}), a condição f(a)=f(b) está satisfeita.

Passo 4

Pelas verificações, as hipóteses do Teorema de Rolle valem, então existe ao menos um c\in(0,2\sqrt{3}) tal que f'\text{(c)}=0.
Agora encontro f'(x) e resolvo f'(x)=0. Diferenciando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-12x\bigr)=3x^{2}-12.
Resolvo a equação
3x^{2}-12=0.
Dividindo por 3,
x^{2}-4=0.
Logo
x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.

Passo 5

Das soluções x=\pm 2, preciso do(s) x que pertencem ao intervalo aberto (0,2\sqrt{3}). Note que
2\sqrt{3}\approx 3{,}464\ldots
Portanto -2\notin(0,2\sqrt{3}) e 2\in(0,2\sqrt{3}). Assim o c garantido pelo Teorema de Rolle (neste caso único) é c=2.
Observação rápida: o Teorema de Rolle garante pelo menos um c; aqui a equação f'(x)=0 tem exatamente duas raízes no \mathbb{R}, mas apenas x=2 está dentro do intervalo pedido, então é o único c válido em [0,2\sqrt{3}].

Resposta

2

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