Determine
que satisfaz o Teorema de Rolle se
.
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede: determinar
que satisfaz o Teorema de Rolle para a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo é
.
A pergunta concreta é: achar(no intervalo indicado) tal que a conclusão do Teorema de Rolle vale para nesse intervalo (ou seja, encontrar com , depois de verificar as hipóteses).
Passo 2
Vou lembrar o enunciado do Teorema de Rolle de forma simples: se uma função
é contínua em
, diferenciável em
e satisfaz
, então existe pelo menos um ponto
tal que
.
Agora verifico as hipóteses para a nossa
:
- Continuidade e diferenciabilidade:
é um polinômio ( ). Polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo . Logo é contínua em e diferenciável em . - Restará verificar se
. Se isso ocorrer, as hipóteses estarão satisfeitas e então existe algum com .
Passo 3
Calculo
e
.
Calculo passo a passo:
. E
. Portanto
Como
, a condição
está satisfeita.
Passo 4
Pelas verificações, as hipóteses do Teorema de Rolle valem, então existe ao menos um
tal que
.
Agora encontro
e resolvo
. Diferenciando termo a termo:
Resolvo a equação
Dividindo por
,
Logo
Passo 5
Das soluções
, preciso do(s)
que pertencem ao intervalo aberto
. Note que
Portanto
e
. Assim o
garantido pelo Teorema de Rolle (neste caso único) é
.
Observação rápida: o Teorema de Rolle garante pelo menos um
; aqui a equação
tem exatamente duas raízes no
, mas apenas
está dentro do intervalo pedido, então é o único
válido em
.