Considere a função
. Qual dos itens abaixo é verdadeiro?
Escolha uma opção:
◯ a.
é crescente em
e decrescente em
.
◯ b.
é crescente em
e decrescente em
.
◯ c.
é decrescente em
e crescente em
.
◯ d.
é crescente em
e decrescente em
.
◯ e.
é decrescente em
e crescente em
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se escolha, entre as opções fornecidas, qual afirmação sobre onde
é crescente ou decrescente é verdadeira. As opções descrevem monotonicidade em intervalos envolvendo os pontos
e
. Em resumo, preciso determinar os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente e então comparar com as alternativas (a) a (e).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - As alternativas citam monotonicidade nos intervalos
, e . - Objetivo: descobrir em quais desses intervalos
é crescente ou decrescente.
Passo 2
Ideia (explicação didática do método que vou usar): para saber onde uma função é crescente ou decrescente, usamos a derivada
. A derivada em um ponto dá a inclinação da reta tangente à curva ali; se
em um intervalo, a função sobe nesse intervalo (é crescente); se
, a função desce (é decrescente). Portanto, o procedimento é:
- Calcular
. - Encontrar os pontos onde
(esses são possíveis pontos de troca de monotonicidade). - Analisar o sinal de
nos intervalos determinados por esses pontos (usar valores de teste ou analisar fatores). - Concluir os intervalos de crescimento/decrescimento e comparar com as opções.
Passo 3
Calcular a derivada
. Lembrando a regra básica: a derivada de
é
, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aplicando termo a termo:
Passo 4
Fatorar
para facilitar a análise de sinal. Primeiro fator comum:
Agora fatorar o quadrático
. Procuramos dois números cuja soma é
e produto
: são
e
. Logo:
Portanto
Passo 5
Encontrar os pontos onde
. Como
nunca é zero, então as raízes vêm dos fatores:
Portanto os pontos críticos são
e
. Esses valores particionam a reta real nos intervalos
,
e
.
Passo 6
Analisar o sinal de
em cada intervalo. Método prático: escolher um valor-teste em cada intervalo e verificar o sinal de cada fator.
-
No intervalo
, escolho . -
(negativo). -
(negativo). - Produto
é negativo negativo = positivo. Multiplicando por mantém positivo. - Logo
. Conclusão: em , portanto é crescente em .
-
-
No intervalo
, escolho . -
(negativo). -
(positivo). - Produto é negativo. Multiplicando por
dá negativo. - Logo
. Conclusão: em , portanto é decrescente em .
-
-
No intervalo
, escolho . -
(positivo). -
(positivo). - Produto é positivo; multiplicando por
continua positivo. - Logo
. Conclusão: em , portanto é crescente em .
-
Resumo da análise de sinais:
-
crescente em e em . -
decrescente em .
Passo 7
Comparar o resultado com as alternativas dadas. O que encontramos coincide exatamente com a alternativa:
“d. é crescente em
e decrescente em
.”
“d.
Então a alternativa correta é a letra d.
Resposta
d.