Considere a função f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x-1. Qual dos itens abaixo é verdadeiro?
Escolha uma opção:
◯ a. f é crescente em (-\infty,-1) e decrescente em (-1,+\infty).
◯ b. f é crescente em (-\infty, 3) e decrescente em (3,+\infty).
◯ c. f é decrescente em (-\infty,-1) \cup(3,+\infty) e crescente em (-1,3).
◯ d. f é crescente em (-\infty,-1) \cup(3,+\infty) e decrescente em (-1,3).
◯ e. f é decrescente em (-\infty,-1) e crescente em (-1,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x-1 e pede que se escolha, entre as opções fornecidas, qual afirmação sobre onde f é crescente ou decrescente é verdadeira. As opções descrevem monotonicidade em intervalos envolvendo os pontos x=-1 e x=3. Em resumo, preciso determinar os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente e então comparar com as alternativas (a) a (e).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x-1.
  • As alternativas citam monotonicidade nos intervalos (-\infty,-1), (-1,3) e (3,+\infty).
  • Objetivo: descobrir em quais desses intervalos f é crescente ou decrescente.

Passo 2

Ideia (explicação didática do método que vou usar): para saber onde uma função é crescente ou decrescente, usamos a derivada f'(x). A derivada em um ponto dá a inclinação da reta tangente à curva ali; se f'(x)>0 em um intervalo, a função sobe nesse intervalo (é crescente); se f'(x)<0, a função desce (é decrescente). Portanto, o procedimento é:
  1. Calcular f'(x).
  2. Encontrar os pontos onde f'(x)=0 (esses são possíveis pontos de troca de monotonicidade).
  3. Analisar o sinal de f'(x) nos intervalos determinados por esses pontos (usar valores de teste ou analisar fatores).
  4. Concluir os intervalos de crescimento/decrescimento e comparar com as opções.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x). Lembrando a regra básica: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aplicando termo a termo:
f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x-1
f'(x)=3x^{2}-6x-9.

Passo 4

Fatorar f'(x) para facilitar a análise de sinal. Primeiro fator comum:
f'(x)=3(x^{2}-2x-3).
Agora fatorar o quadrático x^{2}-2x-3. Procuramos dois números cuja soma é -2 e produto -3: são -3 e 1. Logo:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto
f'(x)=3(x-3)(x+1).

Passo 5

Encontrar os pontos onde f'(x)=0. Como 3 nunca é zero, então as raízes vêm dos fatores:
x-3=0 \Rightarrow x=3, \qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1.
Portanto os pontos críticos são x=-1 e x=3. Esses valores particionam a reta real nos intervalos (-\infty,-1), (-1,3) e (3,\infty).

Passo 6

Analisar o sinal de f'(x)=3(x-3)(x+1) em cada intervalo. Método prático: escolher um valor-teste em cada intervalo e verificar o sinal de cada fator.
  • No intervalo (-\infty,-1), escolho x=-2.
    • x-3 = -2-3 = -5 (negativo).
    • x+1 = -2+1 = -1 (negativo).
    • Produto (x-3)(x+1) é negativo \times negativo = positivo. Multiplicando por 3>0 mantém positivo.
    • Logo f'(-2)>0. Conclusão: f'(x)>0 em (-\infty,-1), portanto f é crescente em (-\infty,-1).
  • No intervalo (-1,3), escolho x=0.
    • x-3 = 0-3 = -3 (negativo).
    • x+1 = 0+1 = 1 (positivo).
    • Produto é negativo. Multiplicando por 3 dá negativo.
    • Logo f'(0)<0. Conclusão: f'(x)<0 em (-1,3), portanto f é decrescente em (-1,3).
  • No intervalo (3,\infty), escolho x=4.
    • x-3 = 4-3 = 1 (positivo).
    • x+1 = 4+1 = 5 (positivo).
    • Produto é positivo; multiplicando por 3 continua positivo.
    • Logo f'(4)>0. Conclusão: f'(x)>0 em (3,\infty), portanto f é crescente em (3,\infty).
Resumo da análise de sinais:
  • f crescente em (-\infty,-1) e em (3,\infty).
  • f decrescente em (-1,3).

Passo 7

Comparar o resultado com as alternativas dadas. O que encontramos coincide exatamente com a alternativa:
“d. f é crescente em (-\infty,-1)\cup(3,+\infty) e decrescente em (-1,3).”
Então a alternativa correta é a letra d.

Resposta

d.

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