Determine as integrais abaixo:
\int 3 \operatorname{sec} ^{2} \cdot\left(\frac{\operatorname{cotg}^{2} x}{\operatorname{cossec}^{2} x}+\operatorname{cotg}^{2} x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 3\,\operatorname{sec}^{2}x\;\biggl(\frac{\cot^{2}x}{\csc^{2}x}+\cot^{2}x\biggr)\,dx.
O conteúdo envolvido são identidades trigonométricas e integrais básicas de funções trigonométricas, em particular \int\csc^{2}x\,dx.

Passo 2

Simplificamos o que está dentro dos parênteses usando \csc^{2}x=1/\sin^{2}x e \cot^{2}x=\cos^{2}x/\sin^{2}x:
\frac{\cot^{2}x}{\csc^{2}x} =\cot^{2}x\;\sin^{2}x =\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}\,\sin^{2}x =\cos^{2}x.
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\frac{\cot^{2}x}{\csc^{2}x}+\cot^{2}x =\cos^{2}x+\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}.

Passo 3

Multiplicamos por \operatorname{sec}^{2}x:
\operatorname{sec}^{2}x\cos^{2}x=1, \qquad \operatorname{sec}^{2}x\;\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}\;\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} =\frac{1}{\sin^{2}x} =\csc^{2}x.
Portanto o integrando vira
3\bigl(1+\csc^{2}x\bigr).

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int3\,(1+\csc^{2}x)\,dx =3\int1\,dx+3\int\csc^{2}x\,dx =3x+3\bigl(-\cot x\bigr)+C =3x-3\cot x+C.

Resposta

3x-3\cot x + C.

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