Determine as integrais abaixo:
\int\left(\frac{\sqrt{x} \ln \left(x^{10}\right)}{x \ln \left(x^{5}\right)}+\frac{3 x^{5}+2 x^{4}}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede a integral indefinida da função
\frac{\sqrt{x}\,\ln\bigl(x^{10}\bigr)}{x\,\ln\bigl(x^{5}\bigr)} \;+\;\frac{3x^{5}+2x^{4}}{x^{2}}.
Vamos usar propriedades de logaritmos para simplificar o primeiro termo e regras de potência para o segundo, depois aplicar a fórmula
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Para o primeiro termo note que
\ln\bigl(x^{10}\bigr)=10\,\ln(x), \quad \ln\bigl(x^{5}\bigr)=5\,\ln(x).
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\frac{\sqrt{x}\,\ln\bigl(x^{10}\bigr)}{x\,\ln\bigl(x^{5}\bigr)} = \frac{x^{1/2}\,\bigl(10\ln x\bigr)}{x\,\bigl(5\ln x\bigr)} = \frac{10}{5}\;x^{1/2-1} =2\,x^{-1/2}.

Passo 3

Para o segundo termo basta dividir por x^{2}:
\frac{3x^{5}+2x^{4}}{x^{2}} =3\,x^{5-2}+2\,x^{4-2} =3x^{3}+2x^{2}.

Passo 4

A integral fica
\int\Bigl(2\,x^{-1/2}+3x^{3}+2x^{2}\Bigr)dx.
Integramos termo a termo:
\int 2\,x^{-1/2}dx =2\;\frac{x^{1/2}}{\tfrac12} =4\,x^{1/2},
\int 3x^{3}dx =3\;\frac{x^{4}}{4} =\frac{3x^{4}}{4},
\int 2x^{2}dx =2\;\frac{x^{3}}{3} =\frac{2x^{3}}{3}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos

Resposta

4\sqrt{x} \;+\;\frac{3x^{4}}{4}\;+\;\frac{2x^{3}}{3}\;+\;C.

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