Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule aquelas que são convergentes.
(c) integral-2^infty 1x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
integral-2^infty1x^4,dx
Aqui há duas fontes de impropriedade: o limite superior vai a +infty e o integrando fica singular em x=0. Vamos, então, usar o conceito de integral imprópria dividindo o intervalo em duas partes, analisando cada uma com o critério de p-integral.

Passo 2

Separemos
integral-2^infty1x^4,dx =integral-2^01x^4,dx +integral0^infty1x^4,dx
Analisaremos cada uma dessas integrais impropriamente definida.

Passo 3

Estudo de integral0^infty1x^4,dx.
Para x>0, trata–se de um caso de p-integral no infinito, com p=4>1, logo converge. De fato,
integral1^infty1x^4,dx =limRtoinfty[-13x^3]1^R =limRtoinftyl(-tfrac13R^3+tfrac13r) =13
A parte de xin(0,1) também é convergente (novamente p=4>1 num intervalo que se aproxima de zero).

Passo 4

Estudo de integral-2^01x^4,dx.
Para x<0 podemos fazer a mudança x=-t com tin(0,2), e obter
integral-2^01x^4,dx =integral2^01(-t)^4(-dt) =integral0^21t^4,dt
Mas essa é outra p-integral agora em torno de t=0 com p=4>1, e sabemos que
integral0^2t^-4,dt =limvarepsilonto0^+[-13t^3]varepsilon^2 =limvarepsilonto0^+l(-tfrac13cdot2^3+tfrac13varepsilon^3r) =+infty
Ou seja, essa parte diverge.

Resposta

A integral
integral-2^infty1x^4,dx
é divergente.

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