Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule aquelas que são convergentes.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
Aqui há duas fontes de impropriedade: o limite superior vai a
e o integrando fica singular em
. Vamos, então, usar o conceito de integral imprópria dividindo o intervalo em duas partes, analisando cada uma com o critério de
-integral.
Passo 2
Separemos
Analisaremos cada uma dessas integrais impropriamente definida.
Passo 3
Estudo de
.
Para , trata–se de um caso de
-integral no infinito, com
, logo converge. De fato,
Para
A parte de
também é convergente (novamente
num intervalo que se aproxima de zero).
Passo 4
Estudo de
.
Para podemos fazer a mudança
com
, e obter
Para
Mas essa é outra
-integral agora em torno de
com
, e sabemos que
Ou seja, essa parte diverge.
Resposta
A integral
é divergente.