Encontre o volume do sólido formado pela rotação da região sob a curva y=(1 / 3)(16- 4 x^2)^1 / 2 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região sob a curva
y = 13raiz16 - 4x^2
O conteúdo é o método dos discos, em que usamos a fórmula do volume
V = pi integrala^b l(y(x)r)^2 ,dx

Passo 2

Determinar o intervalo de x para o qual a raiz está definida:
16 - 4x^2 >= 0 Longrightarrow x^2 <= 4 Longrightarrow -2 <= x <= 2

Passo 3

Aplicar a fórmula do volume pelo método dos discos:
V = pi integral-2^2 l(y(x)r)^2 ,dx

Passo 4

Calcular l(y(x)r)^2:
y(x)^2 = l(tfrac13raiz16 - 4x^2r)^2 = 19l(16 - 4x^2r) = 49(4 - x^2)

Passo 5

Usar a simetria da função 4 - x^2, que é par, para integrar de 0 a 2 e dobrar:
V = pi integral-2^2 49(4 - x^2),dx = 2pi integral0^2 49(4 - x^2),dx = 8pi9 integral0^2 (4 - x^2),dx

Passo 6

Calcular a integral:
integral0^2 (4 - x^2),dx = l[4x - tfracx^33r]0^2 = l(8 - tfrac83r) - 0 = 163
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V = 8pi9 cdot 163 = 128pi27

Resposta

128pi27

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