Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: { x = e^(2 t), y = t^3 + 2 t }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar os gráficos de curvas paramétricas e, primeiro, eliminar o parâmetro das equações para transformar tudo numa equação comum de em função de . As equações que temos são:
Vamos precisar usar logaritmos e manipulação algébrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar o na equação de . Temos:
Para achar , vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2 para isolar o :

Passo 3

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na equação de :
Substituindo :
Vamos simplificar cada termo:
e
Então, juntando tudo:

Resposta

A equação cartesiana da curva é:

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