Determine as integrais definidas seguintes:
\int_{0}^{\pi / 2} \cos 5 t \cos 10 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos 5t \cos 10t \, dt.
Informações dadas: o integrando é o produto de duas funções trigonométricas \cos 5t e \cos 10t, o intervalo de integração é de t=0 até t=\pi/2. A pergunta é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia: quando aparece produto de cossenos é muito útil usar a identidade “produto-para-soma” que transforma produto em soma de cossenos — isso simplifica bastante a integração (porque integrar soma de cossenos é direto). Vou explicar a identidade e depois aplicá-la passo a passo.

Passo 3

A identidade produto-para-soma que usamos é
\cos A \cos B = \tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B) + \cos(A+B)\big).
Por que isso funciona (intuição curta)? Podemos obter essa identidade somando as fórmulas de cosseno da soma e da diferença:
\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B,
\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B.
Somando as duas equações, os termos com \sin A\sin B se cancelam, restando 2\cos A\cos B = \cos(A+B)+\cos(A-B), daí a identidade acima. Não precisa decorar o derivação inteira, mas é bom ver de onde vem.

Passo 4

Aplicando a identidade com A=5t e B=10t:
\cos 5t \cos 10t = \tfrac{1}{2}\big(\cos(5t-10t) + \cos(5t+10t)\big) = \tfrac{1}{2}\big(\cos(-5t) + \cos(15t)\big).
Como \cos(-5t)=\cos 5t, ficamos com
\cos 5t \cos 10t = \tfrac{1}{2}\big(\cos 5t + \cos 15t\big).
Então a integral vira
\int_{0}^{\pi/2} \cos 5t \cos 10t \, dt = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \big(\cos 5t + \cos 15t\big)\, dt.

Passo 5

Agora vamos integrar termo a termo. A antiderivada de \cos(k t) é \tfrac{1}{k}\sin(k t). Explico isso rapidamente: derivando \sin(k t) por t k\cos(k t) pela regra da cadeia, então para obter \cos(k t) precisamos de \tfrac{1}{k}\sin(k t). Portanto
\int \cos 5t\,dt = \tfrac{1}{5}\sin 5t,\qquad \int \cos 15t\,dt = \tfrac{1}{15}\sin 15t.
Assim
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \big(\cos 5t + \cos 15t\big)\, dt = \tfrac{1}{2}\Big[\tfrac{1}{5}\sin 5t + \tfrac{1}{15}\sin 15t\Big]_{0}^{\pi/2}.

Passo 6

Agora avaliamos as funções seno nas extremidades. Precisamos de \sin(5t) e \sin(15t) em t=\pi/2 e em t=0.
  • Em t=0: \sin 5\cdot 0 = \sin 0 = 0 e \sin 15\cdot 0 = \sin 0 = 0.
  • Em t=\pi/2: calculemos com periodicidade e valores conhecidos: 5\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2},então \sin\!\big(\tfrac{5\pi}{2}\big)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1. 15\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{2} = 6\pi + \frac{3\pi}{2} = (3\cdot 2\pi) + \frac{3\pi}{2},como \sin tem período 2\pi, \sin\!\big(\tfrac{15\pi}{2}\big)=\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big) = -1.
    Portanto no limite superior temos \sin 5t = 1 e \sin 15t = -1; no inferior ambos são 0.

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão da integral:
\tfrac{1}{2}\Big[\tfrac{1}{5}\sin 5t + \tfrac{1}{15}\sin 15t\Big]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{5}\cdot 1 + \tfrac{1}{15}\cdot(-1) - 0\Big).
Calculemos a combinação dentro dos parênteses:
\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{15} = \tfrac{3}{15} - \tfrac{1}{15} = \tfrac{2}{15}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{15} = \tfrac{1}{15}.

Resposta

\tfrac{1}{15}

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