Determine as integrais definidas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é o produto de duas funções trigonométricas
e
, o intervalo de integração é de
até
. A pergunta é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Estratégia: quando aparece produto de cossenos é muito útil usar a identidade “produto-para-soma” que transforma produto em soma de cossenos — isso simplifica bastante a integração (porque integrar soma de cossenos é direto). Vou explicar a identidade e depois aplicá-la passo a passo.
Passo 3
A identidade produto-para-soma que usamos é
Por que isso funciona (intuição curta)? Podemos obter essa identidade somando as fórmulas de cosseno da soma e da diferença:
Somando as duas equações, os termos com
se cancelam, restando
, daí a identidade acima. Não precisa decorar o derivação inteira, mas é bom ver de onde vem.
Passo 4
Aplicando a identidade com
e
:
Como
, ficamos com
Então a integral vira
Passo 5
Agora vamos integrar termo a termo. A antiderivada de
é
. Explico isso rapidamente: derivando
por
dá
pela regra da cadeia, então para obter
precisamos de
. Portanto
Assim
Passo 6
Agora avaliamos as funções seno nas extremidades. Precisamos de
e
em
e em
.
- Em
: e . - Em
: calculemos com periodicidade e valores conhecidos: então . como tem período , .
Portanto no limite superior temose ; no inferior ambos são .
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão da integral:
Calculemos a combinação dentro dos parênteses:
Multiplicando por
obtemos